Оценка постоянного аннуитета постнумерандо.

Аннуитет называется постоянным (fixed annuity), если все денежные поступления равны между собой. В этом случае

... 0 1 2 ...

... 0 1 2 ... ...

Рис. 7. Виды постоянных аннуитетов

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных ве­личинах регулярного поступления и процентной ставке предполагает оценку будущей стоимости аннуитета . Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, записанный в порядке поступления платежей наращенный денежный поток (в аннуитете постнумерандо) имеет вид:

, ,…, , ,

а формула (7.1) трансформируется следующим образом:

(7.7)

Входящий в формулу множитель называется ко­эффициентом наращения ренты (аннуитета) и представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии, на­чинающейся (в обозначениях первого раздела) с и имею­щей знаменатель .

Таким образом,

(7.8)

Из (7.8) следует, что

.

Экономический смысл множителя заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная вели­чина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель часто используется в финансовых вычис­лениях. Его значения зависят лишь от процентной ставки и срока действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина возрастает. Значения множителя для различных сочетаний и можно табулировать. Заметим, что при выводе фор­мулы (7.7) использовали выражение процентной ставки в де­сятичных дробях.

Из (7.7) следует, что показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного по­ступления . В связи с этим множитель называют также коэффициентом аккумуляции вкладов.

В формуле (7.7) переменная означает число периодов, а представляет собой ставку за период. И период, конечно, не обязательно должен быть равен одному году. Так, если в каче­стве периода понимать один квартал, то является сложной ставкой за один квартал.

Коэффициент наращения ренты обладает рядом свойств, которые можно получить математически и которые имеют содержательную финансовую интерпретацию. Например, для любого целого справедливо равенство

(7.9)

Если является процентной ставкой (в десятичных дробях) за базовый период, а начисление сложных процентов происходит раз в течение этого периода (не пишем , поскольку период в принципе"может отличаться от года), то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления, имеет вид

…,

Другими словами, получили геометрическую прогрессию,
первый член которой равен и знаменатель - Следовательно, сумма первых членов этой прогрессии равна:

(7.11)

Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода, можно рас­сматривать с двух точек зрения. Изложим первую из них.

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят раз и один раз в конце периода начисляются про­центы в соответствии со ставкой .

Определим сумму, которая накопится к концу любого перио­да, если на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются сложные проценты.

На последнее поступление проценты не начисляются и оно остается равным . На предпоследнее поступ­ление начисляются сложные проценты за -ю часть периода и оно будет равно . На -е поступление начисляются сложные проценты за -ю часть периода и оно будет равно и т.д. до первого включительно, которое будет равно . Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем и числом членов, равным , поэтому сумма этих величин равна:

Таким образом, можно считать, что имеем аннуитет, в котором денежные поступления равны величине и происходят в конце каждого базового периода начисления процен­тов. Поэтому, пользуясь (7.7), получим:

А учитывая (7.8), можно написать

(7.12)

Аналогичным образом можно рассмотреть и самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступ­ления происходят раз и проценты начисляются раз за пе­риод. Например, если начисляются только сложные проценты, то, как и ранее, определяем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода. Последнее -е поступление в периоде остается равным А. Предпоследнее -e поступление после начисления сложных процентов составит -е поступление - и т.д. до первого, которое станет равным . Находим сумму полученных величин:

.

Считая, что есть аннуитет с денежными поступлениями, рав­ными полученной сумме, воспользуемся формулой (7.11):

(7.14)

Заметим, что при начислении на отдельные поступления внутри периода простых процентов (согласно их свойству) для и в этом случае получим опять формулу (7.13).

Преобразуем формулу (7.14), предполагая, что длительность базового периода начисления процентов равна одному году, и используя понятие эффективной годовой процентной ставки .

Так как , то

Пользуясь этими соотношениями, получим:

(7.15)

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из основной формулы (7.3) и имеет вид:

(7.16)

Множитель называется коэффициентом дискон­тирования ренты (аннуитета) и как сумма членов геометриче­ской прогрессии равен величине:

(7.17)

Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денеж­ными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося равных периодов с заданной процентной ставкой . Значения этого множителя также табулированы и, как для других множителей, процентная ставка дана в процентах.

Дисконтный множитель полезно интерпретиро­вать и как величину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку г, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение пе­риодов (выплаты производятся в конце каждого периода). Дей­ствительно, к концу первого периода величина станет равной:

В конце первого периода одна денежная единица будет вы­плачена и останется капитал , который в конце второго периода станет равным:

После выплаты денежной единицы останется капитал . Продолжая рассуждения аналогичным образом, убеждаемся, что в конце -ro периода будем иметь капи­тал, равный:

После выплаты одной денежной единицы капитал , очевидно, обеспечит выплату последней денежной единицы в конце -го периода.

Например, поскольку , то, поместив 4 тенге 16 тиын под сложную процентную ставку 15%, можно обеспечить выплаты по 1 тенге в конце каждого года в течение 7 лет.

Из вида выражения (7.17) следует, что при возрастании про­центной ставки величина дисконтного множителя уменьшается и, таким образом, уменьшается величина приве­денной (текущей) стоимости.

В формуле (7.16), как и в формуле (7.7), переменная озна­чает число периодов, которые необязательно равны году, что позволяет при соответствующем понимании ставки пользо­ваться этой формулой в различных ситуациях.

Коэффициент дисконтирования ренты удовлетво­ряет соотношениям, подобным (7.9) и (7.10). Равенства для можно вывести аналогичным образом, как и для . Укажем еще один на первый взгляд формальный ма­тематический прием, тем не менее отражающий финансовый подход. Из (7.17) следует, что . Подставляя это выражение в (7.9) и (7.10), получим

(7.18)

(7.19)

Эти соотношения, как и (7.9), (7.10), имеют простой финан­совый смысл. Например, равенство (7.18) означает, что приве­денную стоимость срочного аннуитета в одну денежную едини­цу со сроком действия можно найти путем сложения при­веденной стоимости аннуитета за первые к периодов и учтен­ной за время к приведенной стоимости (на момент начала -го периода) аннуитета за оставшиеся периодов.

Из формулы (7.17) следует, что

,

или используя обозначение дисконтного множителя,

Это равенство можно пояснить, например, таким образом: долг в одну денежную единицу можно погасить равными пла­тежами в денежных единиц в конце периодов от 1 до -го, а в конце -го периода необходимо выплатить денежных единиц.

Вообще в случае рассмотрения только сложных процентов выводы формул для нахождения приведенных стоимостей ан­нуитетов аналогичны выводам формул для нахождения нара­щенных сумм. Получающиеся при рассуждениях денежные по­токи будут представлять собой геометрические прогрессии, знаменателями которых будут соответствующие дисконтные множители. Так, для постоянного аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов раз за базовый период при­веденный денежный поток имеет вид

…,

следовательно, сумма этих величин (приведенная стоимость ан­нуитета) равна:

(7.20)

Для -срочных аннуитетов с начислением сложных процен­тов соответственно один раз за базовый период и т раз за базо­вый период можно получить

(7.21)

(7.22)

Как видно, формулы (7.20) - (7.22) похожи соответственно на формулы (7.11), (7.12), (7.14). Применяя эффективную годо­вую процентную ставку , получим:

Поэтому из (7.22) следует, что

(7.23)

Соотношение (7.23) по виду совпадает с (7.21), что объясня­ется содержанием понятия эффективной ставки.