Дифференциал первообразной
Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала заданной функции.
Основной задачей интегрального исчисления является нахождение функции по заданной ее производной или дифференциалу.
Определение: Функция называется первообразной для данной функции, если ее производная равна данной функции.
Обозначение: .
Вопрос: Является ли функция х2 первообразной для функции 2х?
Ответ: Функция х2 является первообразной для функции 2х, так как .
Вопрос: Какая из двух функций 3х2 или х3 является первообразной для другой?
Ответ: Функция х3 является первообразной для функции 3х2, так как .
Функция 3х2 является производной от функции х3.
Вопрос: Какая из двух функций х5+7 или 5х4 является первообразной для другой?
Ответ: Функция х5+7 является первообразной для функции 5х4, так как . Функция 5х4 является производной от функции х5+7.
Упражнения:
Какая из двух функций является первообразной для другой?
1) ; 2) ; 3) ; | 4) ; 5) . |
Дифференциал первообразной
Пусть функция является первообразной для функции , то есть .
Воспользуемся определением дифференциала функции для вычисления дифференциала первообразной:
Дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, то есть .
Вывод: Дифференциал первообразной для данной функции равен произведению данной функции на дифференциал аргумента.
Пример: Найти дифференциал первообразной для функции .
; ; .
Задача: Являются ли функции ; ; ; первообразными для функции ?
Воспользуемся определением первообразной: .
; ; ; .
Ответ: Данные функции являются первообразными для функции .
Вывод: Функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную: , С – постоянная.
Теорема: Если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для функции задается формулой , где С – постоянная.
Замечание: Операция нахождения всех первообразных для данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование обозначается с помощью знака неопределенного интеграла .
Определение: Неопределенным интегралом от данной функции называется совокупность ее первообразных:
.
– подынтегральная функция;
– дифференциал аргумента х;
– подынтегральное выражение;
С – постоянная интегрирования.
– первообразная для функции .
Пример:
|
|
Замечание:
- Интеграл называется неопределенным, так как результат интегрирования не однозначен.
- Графики всех первообразных для функции получаются из любого из них параллельным переносом вдоль оси Оу.
- При нахождении для данной функции первообразной, удовлетворяющей начальным условиям, надо найти значение постоянной интегрирования.
Замечание:
- Дифференцирование (нахождение производной или дифференциала функции) и интегрирование являются взаимно обратными действиями.
Пример:
1) ; .
2) ; .
- Чтобы найти неопределенный интеграл от данной функции, нужно найти одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную.
- Для проверки правильности полученного результата необходимо помнить, что производная от результата интегрирования должна равняться подынтегральной функции.
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 2341;