Показатели надежности восстанавливаемых систем

 

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SK SM ,

SK SM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

 

 

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

 

 

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

 

 

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi(t)/dt = 0, т.к. Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

 

(3)

 

и коэффициент готовности:

 

 

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4. Параметр потока отказов системы

 

(4)

 

где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

 

(5)

 

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

 

(6)

 

Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T0= kг.с./ ,

где ( ) = .

 

 

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T0,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ TВ ,

где T0 – средняя наработка между отказами;

TВ – среднее время восстановления.

 

 

P0(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

 

(7)

 

Начальные условия: при t = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0, поскольку состояния S0 и S1 представляют полную группу событий, то

 

P0(t) + P1(t) = 1. (8)

 

Выражая P0(t) = 1 - P1(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P1(t):

 

dP1(t)/dt = (1 – P1(t)) - P1(t). (9)

 

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

 

 

т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).

Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:

 

 

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

 

 

(9)

 

где L{ } = L{1} = /S .

При P1(0) = 0

 

SP1(S) + P1(S)( + ) = /S.

P1(S)( S + + ) = /S,

 

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

 

(10)

 

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

 

 

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

 

L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e-at,

 

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

 

(11)

 

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

 

(12)

 

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

 

dPi(t)/dt = 0.

 

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

 

(13)

 

Дополнительное уравнение: P0 + P1 = 1.

Выражая P1 = 1 - P0 , получаем 0 = P0 - (1 - P0 ), или = P0 ( + ), откуда

 

(14)

 

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)

 

Г(t) = P0 (t); П(t) = 1 - Г(t) = P1(t).

 

- параметр потока отказов (t) по (4)

 

(t) = P0(t) = Г(t).

 

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

 

(t) = ( ) = = P0 = kг.с.

 

- ведущая функция потока отказов (t )

 

 

- средняя наработка между отказами (t )

 

t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

 

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

 

 

Рис. 1

 

Анализ изменения P0(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности ( = )

/ = 0 и P0(t) = 1.

 

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

 

/ = и P0(t) = e- t,

 

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 

 

Система дифференциальных уравнений:

 

 

Начальные условия: P0 (0) = 1; P1(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

 

 

После группировки:

 

 

откуда

 

 

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:

 

 








Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 896;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.039 сек.