Метод золотого сечения

Метод "золотого" сечения требует только унимодальности функции .

"Золотое" сечение, открытое Евклидом, состоит в разбиении интервала [а,b] точкой x₁ на две части таким образом, чтобы отношение большей части к длине всего интервала было равно отношению меньшей части к большей.

. (33.1)

Представим интервал [а,b] как совокупность двух отрезков:

. (7.2)

Разделив уравнение (33.2) на (b-а), получим:

.

Так как и , имеем , корни которого определяются по формуле:

т.е. .

Из уравнения (33.1) следует

. (33.3)

Проведем "золотое" сечение относительно точки а, получим

. (33.4)

Из уравнения (33.4) получим формулу для определения точки x₂:

. (33.5)

Заметим, что точка x₁ производит "золотое" сечение интервала [а,x₂], а точка x₂ – интервала [x₁,b].

Для унимодальной функции, зная значения функции в точках золотого сечения и , можно определить интервал неопределенности, в котором находится . После выбора на оставшемся интервале нужно определить только одну точку, производящую "золотое" сечение. Для выбранного интервала [а,x₂] следует положить b=x₂, x₂=x₁ и пересчитать точку x₁ по формуле (33.3), а для [x₁,b] – a=x₁, x₁=x₂ и пересчитать точку x₂ по формуле (33.5). На каждом шаге итерации длина интервала неопределенности уменьшается и составляет примерно 0,62 длины предыдущего интервала неопределенности. Итерационную процедуру следует закончить, когда длина интервала неопределенности станет меньше или равна заданной точности.

Алгоритм метода "золотого" сечения:

1. Ввод a, b, ε. Вычисляем значения x₁ и x₂ по формулам (33.3), (33.5).

2. Вычисляем и .

3. Если , то находится в интервале [а,x₂] (рис.33.1б), т.е. b=x₂. Переопределяем точки x₂=x₁ и f₂=f₁, пересчитываем точку x₁ по формуле (33.3) и вычисляем f₁. Переходим на п.4.

Если , то находится в интервале [x₁,b] (рис.33.1а), т.е. a=x₁, x₁=x₂, f₁=f₂. Пересчитываем точку x₂ по формуле (33.5) и вычисляем f₂.

4. Проверка (b–а)<ε, если нет, то переходим на п.3, да – на п.5.

5. Печать , оптимального значения критерия , для контроля правильности полученных данных.

Рис.33.1

Лекция №34