Релейно-контактные схемы

Укажем на применение алгебры логики к анализу и синтезу релейно-контактных схем. Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия. Они находят широкое применение в телефонии, телеуправлении, автоматике и телемеханике, на железнодорожном транспорте, в вычислительной технике. Сейчас при конструировании таких устройств все больше и больше используется алгебра логики. Впервые идея использования алгебры логики для построения автоматических устройств была выдвинута в 1910 году известным физиком П.Эренфестом. Но только в 30-х годах эта идея нашла свое воплощение в работах советского физика В.И. Шестакова, американского математика К.Шеннона и японского инженера А.Накосима.

Контактная схема представляет собой устройство из проводников и контактов, связывающих полюса источника тока. Контакт бывает в двух состояниях:

а) контакт разомкнут и тогда ему приписывают 0;

б) контакт замкнут и тогда ему приписывают 1.

Контакт «не » ( ) – это контакт, который работает в противоположном режиме с , т.е. когда контакт замкнут, контакт обязательно разомкнут.

Дизъюнкции ставится в соответствие схема, состоящая из параллельного соединения контактов X, Y, так как цепь будет замкнута тогда и только тогда, когда замкнут хотя бы один из контактов.

Конъюнкции ставится в соответствие схема, состоящего из последовательного соединения контактов X, Y, так как цепь будет замкнута тогда и только тогда, когда замкнуты оба контакта одновременно.

Каждый контакт подключен к некоторому реле. В схеме одинаковыми буквами обозначаются контакты, подключенные к одному и тому же реле. Всей схеме ставится в соответствие булева функция F, которая равна 1, если схема проводит ток, и 0 в противном случае. Эта функция называется функцией проводимости схемы, а ее таблица – условиями работы схемы. Две схемы с одинаковыми функциями проводимости называются равносильными. Средства алгебры высказываний позволяют упрощать схемы, используя отношение равносильности формул алгебры высказываний.

Пример. Упростить схему:

□ По данной схеме запишем формулу, определяющую функцию проводимости, и упростим ее:

.

Таким образом, – функция проводимости и

упрощенная схема.

§5. Решение логических задач методами алгебры логики.

Под логической задачей будем понимать задачу, где основным видом деятельности является выявление отношений между объектами задачи, а не нахождение количественных характеристик объектов. Суть применения алгебры логики к решению логических задач состоит в том, что, имея конкретные условия логической задачи, стараются записать их в виде формулы алгебры логики. В дальнейшем путем равносильных преобразований упрощают полученную формулу. Простейший вид формулы, как правило, приводит к ответу на все вопросы задачи.

Покажем на ряде конкретных примеров, как использовать возможности алгебры логики для решения элементарных логических задач.

Пример 1. При составлении расписания уроков на некоторый день учителя просили, чтобы их уроки были:

1. математик – первым или вторым;

2. историк – первым или третьим;

3. литератор – вторым или третьим.

Можно ли удовлетворить просьбы всех учителей?

□ Введем обозначения:

={Математика будет первым уроком};

= {Математика будет вторым уроком};

= {История будет первым уроком};

= {История будет третьим уроком};

= {Литература будет вторым уроком};

= {Литература будет третьим уроком}.

Тогда на языке алгебры эту задачу можно записать в виде формулы , после равносильных преобразований которой можно будет дать ответ на вопрос задачи:

Выяснили, что имеется две возможности:

1. , , ;

2. , , .

Вопросы для самоконтроля по теме «Логика высказываний»

1. Что понимается под высказыванием? Привести примеры.

2. Являются ли высказываниями следующие предложения:

а) два плюс два равно пяти;

б) функция – периодическая;

в) существует рациональное число такое, что х > 7.

3. Определить операции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации, эквиваленции и задать их с помощью таблиц истинности.

4. Найти истинностные значения следующих высказываний:

а)

б) ;

в) .

5. Что понимается под формулой алгебры высказываний?

6. Найти значения формул при заданных значениях высказывательных переменных:

а) для , , ;

б) для , .

7. Построить таблицу истинности формулы .

8. Что называется тождественно истинной (ложной) формулой? Проверить, является ли каждая из формул тождественно истинной:

а)

б) .

9. Какие формулы называются равносильными? Как доказать равносильность формул? Проверить равносильность

.

10. Записать первые десять основных равносильностей алгебры высказываний. Доказать законы поглощения и законы де Моргана.

11. Записать законы двойного отрицания; исключения импликации; введения дизъюнкции; введения конъюнкции; замены эквиваленции; контрапозиции; противоположностей; доказательства от противного; транзитивности импликации; транзитивности эквиваленции. Обосновать законы доказательства от противного и закон контрапозиции.

12. Упростить формулу .

13. Преобразовать формулу в равносильную ей формулу так, чтобы в ней не было операции импликации, а отрицание относилось только к высказывательным переменным.

14. Перевести предложение на логический язык и построить его отрицание: «Если вечером я буду не занята, то пойду в кино или на дискотеку».

15. Упростить релейно-контактную схему:

16. Ввести понятие функции проводимости для релейно-контактной схемы. Найти функцию проводимости и условия работы для схемы:

17. Один из братьев Витя, Толя, Коля разбил окно. В разговоре участвуют еще двое братьев – Андрей и Дима.

– Это мог сделать только Витя или Толя – сказал Андрей.

– Я окно не разбивал, – возразил Витя, – Коля тоже.

– Вы оба говорите неправду, – заявил Толя.

– Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой неправду, – возразил Дима.

–Ты, Дима, неправ, – вмешался Коля.

Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил окно?