3 страница. мен арасындағы бұл байланыс ығысу кезіндегі Гук заңы деп аталады:

мен арасындағы бұл байланыс ығысу кезіндегі Гук заңы деп аталады:

немесе:

Пропорционалдық коэффициент G ығысу модулі немесе екінші текті серпімділік модулі деп аталады .

Ығысу модулі материалдың физикалық тұрақтысы, оның қатаңдығын сипаттайды (яғни, материалдың серпімді деформацияға қарсыласа білу қасиеті) және материалдың екі тәуелсіз сипаттамасы E және арқылы өрнектеуге болады.

5.7- ші сурет

5.7- ші суретте,а таза ығысу күйіндегі квадрат элемент көрсетілген ( , , ). Оның, әр нүктесі жазық кернеулі күйдегі диагоналының салыстырмалы деформациясын (5.7- ші сурет,б) келесі түрде жазуға болады:

Екінші жағынан және диагоналдың оң жағын (В нүктесі) оның соңғы орнымен (В₁ нүктесі) беттестіреміз, ол үшін надо диагоналын растянуть на величину ВВ₂ шамасына созып, сағат тілімен В₂В₁ ге жанама етіп, DB₂ радиусмен (5.7- ші сурет, а) бұрамыз. Деформация шамасы аз болғандықтан, шеңбердің доғасы арқылы орын ауыстыруды жанама бойымен орын ауыстыруға алмастырамыз. Онда:

.

үшін алынған екі теңдеуді салыстыра отырып, келесі өрнекті аламыз:

немесе: немесе: , мұндағы

ДӘРІС 5. КӨЛДЕНЕН ҚИМАНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ.

1.Қиманың статикалық моменті.

2. Қиманың инерция моменті.

3.Параллель осьтерге қатысты инерция моменттері арасындағы тәуелділік.

Созылу мен сығылу кезінде көлденен қима ауданы стерженьнің беріктігі мен қатаңдығын сипаттайды. Кез келген брустың көлденен қимасын алайық (5.1-ші сурет).Егер, көлденен қима көптеген бірлік алаңнан dF тұрса, онда көлденен қиманың толық ауданы:

Аудан көлденен қиманың жай геометриялық сипаттамасы, өлшем бірлігі - м². Ауданның екі қасиеті бар: аудан барлық уақытта да оң шама және координата жүйесіне тәуелді емес.

5.1-ші сурет

Бұралу мен иілуге, күрделі қарсыласу мен орнықтылыққа есептеген кезде көлденен қиманың күрделі геометриялық сипаттамалары қолданылады: көлденен қиманың статикалық моменті мен инерция моменті. Бұлар көлденен қиманың размері мен формасы және бұл моменттер есептелетін осьтердің орнына тәуелді.

1. Қиманың статикалық моменті.

Көлденен қиманың х осьіне қатысты статикалық моменті S_x деп, келесі интегралмен анықталатын геометриялық сипаттаманы айтамыз:

(4.1)

Мұндағы: у – х осьінен элементар алаңға дейінгі dF қашықтық.

Егер аудан мен сызба жазықтығына перпендикуляр күшті теңестірсек, онда интегралды (4.1) х осьіне қатысты моменттердің қосындысы деп қарастыруға болады. Теориялық механикадан белгілі тең әсерлі момент туралы Вариньон теоремасы бойынша келесі теңдікті жазуға болады:

(4.2)

Мұндағы: площадь сечения F- тең әсерлі күшті көрсететін көлденен қиманың ауданы, координата у_с - тең әсерлі күштің иіні, с - көлденен қиманың ауырлық центрі.

Сол сияқты у осьіне қатысты статикалық момент тең:

(4.3)

Осы теңдеулерден көлденен қиманың ауырлық центрін анықтайтын формуланы аламыз:

; (4.4)

Статикалық моменттің шамасы оң, теріс және нольге де тең болады. Кез келген центрлік осьтерге қатысты (көлденен қиманың ауырлық центрі арқылы С өтетін, х_с, у_с деп белгіленеді) статикалық моменттер . Статикалық моменттің өлшем бірлігі - м³. n бөліктен тұратын күрделі көлденен қима үшін (4.2), (4.3) теңдеулерін келесі түрде жазуға болады:

; (4.5)

Мұндағы: және - көлденен қиманың i- бөлігінің х және у осьтеріне қатысты статикалық моменттері.

Сонымен, күрделі көлденен қиманың бір оське қатысты статикалық моменті сол оське қатысты қиманың бөліктерінің статикалық моментерінің қосындысына тең.

2. Қиманың инерция моменті.

Көлденен қиманың инерция моменттері деп, келесі интегралмен анықталатын геометриялық сипаттаманы айтамыз:

; (4.6)

- х және у осьіне қатысты осьтік инерция моменттері;

(4.7)

- нүктеге немесе полюске қатысты полярлық инерция моменттері;

Мұндағы r - dF алаңынан полюске дейінгі ара қашықтық.

(4.8)

- центрден тепкіш инерция моменті.

Егер полярлық инерция моменті координата жүйесінің басынан басталып есептелсе (5.1-ші сурет), онда: және , олай болса: (4.9)

Яғни, көлденен қиманың бір біріне перпендикуляр екі осьіне қатысты осьтік инерция моменттерінің қосындысы, сол нүкте арқылы есептелетін полярлық инерция моментіне тең. инерция моментінің өлшем бірлігі - м⁴.

Осьтік және полярлық инерция моменттері барлық уақытта да оң болады, центрден тепкіш инерция моменті оң да, тері те және нольге де тең болады.

5.2 -ші сурет 5.3 -ші сурет

Центрден тепкіш инерция моменті есептелетін координата осьтерінің бірі ось симметрия болса, онда центрден тепкіш инерция моменті нольге тең болады.

Симметрия фигура үшін барлық уақытта оның ауданынан (5.2 -ші сурет), ординаталары бірдей және шамалары тең у₁=у₂=у, бірақ абсциссаларының таңбалары қарама қарсы х₁=х және х₂=-х екі элементті алуға болады. Олай болса,

4. Параллель осьтерге қатысты инерция моменттері арасындағы тәуелділік.

Егер х_С, у_С – көлденен қиманың центрлік осьі болса, , - көлденен қиманың осы осьтерге қатысты инерция моменттері болсын.

Центрлік оське параллель, және а және d қашықтықтағы жаңа х₁, у₁ осьтерге қатысты инерция моменттерін анықтайық.

dF – координаталары х және у М нүктесінің айналасындағы бірлік аудан болсын. 5.3 -ші суретке сәйкес М нүктесінің жаңа координата жүйесіндегі координаталары тең: ; .

х₁ осьіне қатысты инерция моментін анықтайық:

_.

Олай болса, бірінші интеграл , екінші - , себебі есептелетін координата жүйесі - центрлік, ал үшінші - көлденен қиманың ауданы F. Онда:

_. (4.16)

Осылай: _, (4.17)

. (4.18)

ДӘРІС 6. КӨЛДЕНЕН ҚИМАНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ. (Жалғасы)

4. Көлденен қиманың координата осьтерін бұрған кезде инерция моментінің өзгеруі.

5. Инерцияның бас осьтері мен инерцияның бас моменті.

6. Жай геометриялық қималардың инерция моменті.

4. Көлденен қиманың координата осьтерін бұрған кезде инерция моментінің өзгеруі.

х, у осьтеріне қатысты инерция моментімен a бұрышқа бұрылған х₁, у₁ осьтеріне қатысты инерция моменті арасындағы тәуелділікті анықтайық. > болсын және a бұрышының оң мәні х осьінен сағат тіліне қарама қарсы бағытталсын. М нүктесінің координатасы осьті бұрғанға шейін – x, y , ал бұрғаннан кейін – x₁, y₁ (6.1-ші сурет) болсын.

6.1 -ші суреттен:

және

Енді х₁ и у₁ осьтеріне қатысты инерция моментін анықтайық:

немесе:

(4.19)

6.1-ші сурет

Сол сияқты: (4.20)

(4.21)

(4.19) және (4.20)теңдеулерінің мүшелерін қоссақ, онда:

яғни, кез келген бір біріне перпендикуляр осьтерге қатысты инерция моменттерінің қосындысы тұрақты болады және координата жүйесін бұрған кезде өзгермейді.

5. Инерцияның бас осьтері мен инерцияның бас моменті.

Координаиа осьтері a бұрышқа бұрылған кезде, шамалары өзгеріп отырады, бірақ олардың қосындысы тұрақты және өзгермейді. Олай болса, инерция моменттері экстремальды шамасына ие болатын, яғни инерция моменттерінің бірі ең үлкен, ал екіншісі ең кішкентай шамаларына тең болатын ( ) a бұрышының шамасын анықтауға болады.

бұрышының шамасын анықтау үшін - тің немесе бірінші туындысын анықтап, оны нольге теңестіреміз:

немесе: ; осыдан: (4.22)

Алынған координата осьтері үшін центрден тепкіш инерция моменті нольге тең болатынын көрсетейік. Ол үшін (4.21) теңдеуінің оң жағын нольге теңестірейік:

; осыдан:

Яғни бұрышын анықтайтын формуланы алдық.

Центрден тепкіш инерция моменті нольге тең координата осьтерін бас ось деп атайды.

Егер бұл осьтер, сонымен қатар центрлік ось болса, онда , центрлік бас ось деп аталады. Бас оське қатысты осьтік инерция моменттерін бас осьтік инерция моменттері деп атайды.

Егер бас осьтерді х₀ және у₀ деп белгілесек, онда:

;

;

(4.23)

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

6. Жай геометриялық қималардың инерция моменті.

Тік төртбұрыш

Биіктігі h және ені b тік төртбұрыштың (6.2-ші сурет) ауырлық центрі арқылы өтетін х₀ осьіне қатысты қиманың инерция моментін анықтаймыз.

Тік төртбұрыштан х осьіне параллель биіктігі dу және ені b элементар тік төртбұрышты аламыз. Бұл элементар тік төртбұрыштың ауданы dF=bdx, х осьіне шейінгі ара қашықтық у - ке тең. Бұл шамаларды х осьіне қатысты қиманың инерция моментінің (4.6) формуласына қоямыз:

; (4.9)

6.2-ші сурет

Дәл осындай жолмен келесі теңдікті аламыз: (4.10)

Олай болса: және .

Үш бұрыш.

Үш бұрыштың табаны арқылы өтетін х₁ осьіне қатысты қиманың инерция моментін анықтаймыз:

6.3-ші сурет 6.4 -ші сурет 6.5 -ші сурет

Элементар аудан: . Үш бұрыштың ұқсастығынан: .

Мұндағы b – үш бұрыштың табаны, h – оның биіктігі. Сонымен: .

Үш бұрыштың табаны мен ауырлық центріне шейінгі қашықтық:

Үш бұрыштың табанына параллель центрлік х осьіне қатысты қиманың инерция моментін орын ауыстыру формуласы арқылы анықтаймыз:

Дөңгелек.

Алдымен дөңгелектің центріне қатысты полярлық инерция моментін (6.3-ші сурет) анықтаймыз.

За dF деп қалыңдығы дөңгелектің центрінен қашықтағы сақинаның элементар ауданын қабылдаймыз: .

Онда: , яғни: (4.11)

Енді осьтік моменты инерция моментін анықтаймыз.

Осьтер ось симметрия болғандықтан: ; бірақ: , осыдан:

. (4.12)

Сақина

Сыртқы радиусы R, ал ішкі радиусы r сақина үшін (6.5 -ші сурет) инерция моментін анықтайық. Полярлық инерция моментінің теңдеуін r – ден R – ге дейін интегралдасақ, онда:

.

Бұл теңдеуді келесі түрде жазуға болады: (4.13)

Мұндағы: .

Олай болса: . (4.14)

Күрделі көлденен қиманың инерция м оменті.

Күрделі көлденен қиманың белгілі бір оське қатысты инерция моменті, сол оське қатысты көлденен қиманы құрайтын бөліктердің инерция м оменттерінің қосындысына тең: (4.15)

Бұл қортынды анықталған интегралдың қасиетінен шығады. Сонымен, күрделі көлденен қиманың белгілі бір оське қатысты инерция моментін анықтау үшін оны жай фигураға бөліп, әр фигураның инерция моментін анықтап, сосын қосу керек.

Стандартты прокатты профилдер.

Өндіріс орындары келесі стандартты прокатты профил шығарады: қоставр, швеллер, тең бүйірлі бұрыш, тең бүйірлі емес бұрыш. Бұл стандартты прокатты профил конструкцияның ( арқалық, колонна, ферма) дайын элементтері.Стандартты прокатты профилдердің размерлері стандартталған және прокатты болаттардың сортаментті таблицасына енгізілген. Бұл таблица « материалдар кедергісі» оқулықтарында қосымша ретінде келтіріледі. Таблицада көлденен қиманың барлық размерімен қатар прокатты профилдің негізгі геометриялық сипаттамасы көрсетіледі.

ДӘРІС 7. БҰРАЛУ.

1. Бұралу моментінің эпюрасын тұрғызу.

2. Көлденен қимадағы кернеу.

3. Біліктің бұралу кезіндегі беріктік шарты.

4. Бұралу кезіндегі деформация және қатаңдық шарты.

5. Бұралу кезіндегі деформацияның потенциалдық энергиясы.

Бұралу деп сыртқы күштің әсерінен брустың көлденен қимасында тек қана бұралу моменті M_Б пайда болып, қалған ішкі күштер нольге тең болған деформация түрін айтады( 7.1- ші сурет).

7.1- ші сурет

Бұралу моментіне жұмыс жасайтын брустар білік деп аталады.

Сыртқы айналдырушы момент білікке шкивтер , тісті дөңгелектер орнатылған жерлер арқылы беріледі. Көп жағдайда білік арқылы берілетін қуат пен біліктің айналу саны көрсетіліді, ал сыртқы айналдырушы момент осы шамалар арқылы анықталады.

Егер білік тұрақты жылдамдықпен n ай/мин айналып және N –ге тең қуатты беретін Нм/с болсын. Онда біліктің бұрыштық жылдамдығы (рад/сек), ал беретін қуаты: . Олай болса, сыртқы айналдырушы момент:

1. Бұралу моментінің эпюрасын тұрғызу.

Сыртқы айналдырушы моменттің шамасын біле отырып, қию әдісін қолдану арқылы біліктің көлденен қимасындағы бұралу моментін анықтай аламыз.

Біліктің көлденен қимасындағы бұралу моменті M_Б қиманың бір жағында әсер ететін сыртқы айналдырушы моменттердің алгебралық қосындысына тең.

Сыртқы айналдырушы моменттермен Т₁=10кН×м, Т₂=25 кН×м, Т₃=35 кН×м жүктелген білікті (7.2- ші сурет) қарастырайық. Қию әдісін қолданамыз.

Білік учаскілерін ойша екіге бөлеміз(7.2- ші сурет). Сыртқы айналдырушы моменттер әсер ететін жазықтық учаскінің шегі болып есептеледі. Біліктің оң жақ бөлігін тастап, оның әсерін бұралу моментімен M_Б алмастырамыз. Біліктің қалған бөлігінің тепе теңдік шартынан көлденен қимада пайда болатын бұралу моментін M_Б анықтаймыз.

I участок: ; , осыдан:

II участок: _; , осыдан:

III участок: , осыдан: ,

Біліктің ұзындығы бойынша бұралу моментінің M_Б өзгеру диаграммасы, яғни эпюрасын саламыз. Бұралу моментінің M_Б эпюрасын салу (7.3- ші сурет) созылу мен сығылу кезіндегі бойлық күштің эпюрасын салумен бірдей.

7.2- ші сурет 7.3- ші сурет

Сыртқы айналдырушы моменттің әсер ететін жазықтығында бұралу моментінің M_Б эпюрасының ординатасында, сол моменттің шамасына тең өзгерістер болады.

2. Көлденен қимадағы кернеу.

Егер көлденен қимасы дөңгелек брустың сыртқы бетіне тік бұрышты тор, ал қапталына радиальды сызықтар жүргізсек (7.4- ші сурет), онда көптеген сынақтар бұралу деформациясы кезінде төмендегідей құбылыстар болады: