Принцип независимости действия сил

Допущение о малости деформаций делает возможным применение принципа независимости действия сил. Этот принцип в сопротивлении материалов формулируется следующим образом: результат одновременного действия нескольких групп сил совпадает с суммой результатов, вызванных каждой группой сил в отдельности.

Для доказательства данного принципа рассмотрим двухопорную балку, изображенную на рис. 1.14. Приложим в некоторой произвольной точке силу Р₁, которая вызовет в точке А перемещение , которое равно , где - коэффициент пропорциональности. Теперь устраним действие силы Р₁ и в некоторой другой произвольной точке приложим силу Р₂, от действия которой точка переместится на величину .

Очевидно, что коэффициенты пропорциональности и не равны между собой, так как силы Р₁ и Р₂ приложены в разных точках балки.

Рис. 1.14. Принцип независимости действия сил

Рассмотрим теперь совместное действие сил Р₁ и Р₂. Приложим сначала силу Р₁, а затем, не снимая ее, силу Р₂. Тогда суммарное перемещение точки А можно определить по формуле . Коэффициент будет иметь тоже значение, т.к. сила Р₁ была приложена к ненагруженной балке, коэффициент же пропорциональности для силы Р₂ обозначен как , т.к. сила Р₂ приложена к системе, на которую уже действует сила Р₁. Если коэффициенты и различны, то следует признать, что коэффициент зависит от силы Р₁ (даже имеющей нулевое значение), но это противоречит принятому предположению, о линейной зависимости перемещений от действующей силы. Следовательно, и тогда . Видно, что суммарное перемещение в точке А определяется как сумма перемещений от независимых действий сил Р₁ и Р₂.

Таким образом, принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) сформулируем так: результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.

4. Закон Гука

При малых деформациях большинство тел можно считать линейно-упругими. Это означает, что при снятии внешней нагрузки тело полностью восстанавливает свою форму и размеры (идеальная упругость), и, кроме того, наблюдается линейная связь между силами P и смещениями D:

P=kD,

где k – коэффициент пропорциональности (жесткости), зависящий от вида и материала конструкции.

Действующие на упругое тело внешние силы совершают над ним работу. Эта работа, согласно закону сохранения механической энергии, переходит в потенциальную энергию упругой деформации. При сделанных выше допущениях и в предположении о квазистатическом приложении силы P потенциальная энергия легко определяется с помощью теоремы Клапейрона.

При медленном (квазистатическом) нагружении вся работа внешней нагрузки переходит в потенциальную энергию U:

.

Рассмотрим пример работы под нагрузкой консольного стержня (рис. 1.15а) или двухопорной балки (рис. 1.15б), на которые действует сила P. При этом характерные точки обеих систем переместятся на величину D, а при дополнительном нагружении - на .

Рис. 1.15. К определению работы внешних сил

Элементарная работа равна (рис. 1.15в) .

Полная работа, совершаемая силой Р, вызвавшей перемещение , будет

.

Этот интеграл представляет собой заштрихованную площадь диаграммы, и, значит, для линейно-упругой системы будет численно равен площади треугольника:

.

Данное равенство называется теоремой Клапейрона и имеет очень большое значение при исследовании перемещений различных упругих систем.

При действии на систему нескольких сил (n) теорема Клапейрона принимает вид:

.