Тригонометрическая форма комплексного числа.

Имеется комплексное число z = a + ib. Ему на плоскости XOY соответствует точка M(a, b), которая и считается геометрическим изображением (интерпретацией) этого числа. В то же время положение точки М вполне определяется её полярными координатами, т.е. расстоянием r точки z = (a, b) от начала О и углом наклона радиус – вектора этой точки ОМ к положительному направлению оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1

Соотношение между полярными и прямоугольными координатами известны: a = r cosj, b = r sinj. Поэтому всякое комплексное число z = a + ib (или z = x + iy) может быть записано в следующей форме:

z = a + ib = r(cosj+ isinj), (3)

которую называют тригонометрической формой комплексного числа z. В выражении (3) r называется модулем

комплексного числа z и что очевидно:

Угол j называется аргументом комплексного числа z. Он может быть определён следующим образом:

если x>0,

если x<0,

если x=0.

где sgn y = 1, если y>0 и sgn y = -1, если y<0.

Пусть имеется два комплексных числа z₁ и z₂ представленных в тригонометрической форме

Итак, z₁z₂ = т.е. произведение двух комплексных чисел есть комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Подобным же образом можно показать, что

т.е. частное двух комплексных чисел есть число, модуль которого равен частному модулей этих чисел, а аргумент – разности их аргументов. Вычислим натуральную степень комплексного числа.

Пусть z = r(cos j + i sin j).

Тогда

Итак, можем записать

Эту формулу называют формулой Муавра. Она показывает, что для возведения в степень n (в тригонометрической форме) нужно возвести в эту степень модуль и умножить на n аргумент.