Классификация методов решения уравнений с частными производными.

Несмотря на то, что с дифференциальными уравнениями в частных производных приходится сталкиваться при решении многочисленных научно-технических задач, получить их решение в явном виде, т.е. в виде конечной формулы, удаётся только в самых простейших случаях. В этой связи приобретают огромное значение приближённые методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных и систем дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных или как говорят задач математической физики.

В данном курсе будут рассмотрены лишь простейшие и наиболее распространённые методы решения задач математической физики. При этом акцент делается на решение задач для линейных ДУ второго порядка с двумя независимыми переменными.

Как и в случае обыкновенных ДУ, приближённые методы решения задач математической физики делятся на две основные группы:

1. приближённо-аналитические методы – методы, в которых приближённое решение получается в аналитической форме, например, в виде отрезка некоторого ряда;

2. численные методы – методы, с помощью которых можно получить таблицу приближённых значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области.

К группе приближённо-аналитических методов решения краевых задач для ДУ в частных производных относятся, прежде всего, метод Фурье (или метод разделения переменных) и вариационные методы (например, метод Ритца, метод конечных элементов).

Наиболее распространёнными методами численного решения задач для ДУ в частных производных являются:

– Метод сеток, или метод конечных разностей, в котором ДУ или система ДУ предварительно сводится к системе алгебраических уравнений.

– Метод прямых – этот метод в зависимости от способа его реализации может быть отнесён как к первой,так и ко второй группе методов. Название метода прямых связано с тем, что в нём приближённое решение ДУ в частных производных ищется вдоль некоторого семейства прямых, при этом вместо ДУ в частных производных получается система обыкновенных ДУ. Если при этом полученная система обыкновенных ДУ решается в виде системы функций, то речь идёт о приближённо-аналитическом варианте метода прямых; если же полученная система обыкновенных ДУ решается численными методами, тогда метод прямых можно отнести к группе численных методов.

§4. Корректность постановки задач для уравнений математической физики.

Каждое уравнение с частными производными, как и обыкновенное ДУ, имеет бесчисленное множество решений. Поэтому не только получение, но и формальная запись общего решения даже для простейших уравнений в частных производных зачастую вызывает затруднения. Однако ситуация не столь драматична, как это может показаться на первый взгляд, поскольку постановщикам реальных задач, как правило, общее решение и не нужно. Интерес для них представляют те решения, которые обусловлены соответствующими уравнению данными, описывающими изучаемое явление в целом.

При постановке задачи для конкретного уравнения в частных производных, следует позаботиться о том, чтобы добавляемые к уравнению из тех или иных соображений условия выделяли из общего решения некоторое единственное частное решение, и чтобы это частное решение на самом деле существовало в заданном пространстве функций, а также, чтобы оно мало изменялось при малых изменениях добавляемых к уравнению условий (с помощью которых это частное решение выделено из общего).

Обычно корректность постановки задач математической физики связывают со следующими тремя требованиями разрешимости; однозначности; непрерывной зависимости от исходных данных (иначе, устойчивости).

§5. Постановка задач для уравнений математической физики.

Для того чтобы поставить задачу математической физики, необходимо вывести дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее рассматриваемый физический процесс, а также сформулировать начальные и краевые условия.

Для уравнений в частных производных, также как и для ОДУ ставятся начальные и краевые задачи.

Начальные условия ставятся для уравнений, содержащих частные производные по времени, при этом сами уравнения, как правило, описывают нестационарные физические процессы. Если одна из независимых переменных играет роль времени, то начальными условиями называются условия, относящиеся к начальному моменту времени (t = t₀), и соответствующая задача, которая заключается в отыскании частного решения, удовлетворяющего данному начальному условию носит название начальной задачи или задачи Коши.

Краевые (граничные) условия ставятся для уравнений, описывающих протекание физических процессов в ограниченных пространственных областях, при этом краевые условия задают (т.е. фиксируют требования) к значениям частного решения на границах пространственных областей.

Задачи математической физики, содержащие начальные и краевые условия, называются начально-краевыми; задачи, содержащие только граничные условия – краевыми, а задачи, содержащие только начальные условия (в бесконечных областях) – начальными задачами или задачами Коши.

Количество начальных и краевых условий и их вид зависят от типов уравнений математической физики, среди которых, как уже указано выше, различают уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типа.

Как правило, для уравнений эллиптического типа, описывающих стационарные процессы, задают граничные условия, т.е. ставятся граничные задачи. Для уравнений параболического и гиперболического типа, моделирующих эволюционные процессы и явления, для определённости нужно одновременно задавать условия, начальные по времени и граничные по пространственным переменным, что приводит к постановкам смешанных задач.

Вывод основных уравнений математической физики, начальных и краевых условий к ним даётся в курсе «уравнения математической физики». Здесь будет дана математическая формулировка типовых задач математической физики.