Точки разрыва функции и их классификация

Определение непрерывности функции в точке

С понятием предела функции тесно связано понятие непрерывности функции.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Чтобы уяснить понятие непрерывности, рассмотрим точку , в которой функция непрерывна (рис.3.1).

Рис. 3.1

Из рисунка видно, что, во-первых, в точке функция принимает значение . Во-вторых, если , то (независимо от того, как слева или справа).

Таким образом, в точке выполняется условие: если , то . Это условие можно записать так:

.

Определение.

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

(1)

Данное равенство означает выполнение трех условий:

1. функция определена в точке и в ее окрестности;

2. функция имеет предел при ;

3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , должны быть выполнены все три перечисленные условия. Нарушение хотя бы одного из них в некоторой точке означает, что функция разрывна в этой точке.

Когда , то , и равенство (1) можно записать в виде

.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента х подставить его предельное значение .

Для некоторых практических применений бывает полезно другое определение непрерывности функции, которое опирается на понятие приращения аргумента и функции (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Пусть функция определена в точке и в ее окрестности. При функция принимает значение , а при , соответственно, .

Приращение функции равно

.

Если , то , тогда

.

Следовательно,

Определение.

Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

.

Исследуя непрерывность функции в точке применяют, либо первое, либо второе определения.

3.2. Односторонняя непрерывность в точке.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке

По аналогии с понятием предела функции слева (справа) вводится понятие непрерывности функции слева (справа).

Пусть функция определена на полуинтервале , и в точке у нее существует предел слева, т.е. . Если этот предел равен значению функции в точке , т.е. или , то эту функцию называют непрерывной слева в точке .

Аналогично, если функция определена на полуинтервале и или , то эту функцию называют непрерывной справа в точке .

Для того, чтобы выполнялось условие непрерывности функции в точке

,

необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна как слева, так и справа в этой точке.

Пользуясь односторонними пределами, условие непрерывности можно заменить равносильным ему двойным равенством, т.е., поскольку

,

то

.

Таким образом, функция непрерывна в точке , тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа, они равны между собой и равны значению функции в этой точке.

Определение.

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале , и в точке непрерывна справа, т.е. , а в точке непрерывна слева, т.е. .

Точки разрыва функции и их классификация

Если в точке функция не определена, или не существует предел , или при произвольном стремлении , то при функция разрывна.

Определение.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено двойное равенство

или ,

являющееся условием непрерывности функции в точке.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют и конечны пределы функции слева и справа, т.е. и .

При этом

1) если , то − точка устранимого разрыва (рис.3.3);

2) если , то − точка конечного разрыва (рис.3.4).

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Определение.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Примеры

Найти точки разрыва функций и определить их род.

1. ;

Функция определена при всех значениях х, кроме . Найдем пределы функции слева и справа в точке .

;

.

Функция в точке имеет бесконечный разрыв и − точка разрыва второго рода.

2. ;

Точкой разрыва для функции является точка . Вычислим левый и правый пределы функции при .

;

.

Поскольку левый и правый пределы при являются конечными, то точка − точка разрыва первого рода.

3.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Приведем теоремы о непрерывных функциях без доказательств.

Теорема.

Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного − делитель отличен от нуля).

Теорема.

Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.

Теорема.

Функция, обратная к монотонной и непрерывной на интервале функции, также монотонна и непрерывна на интервале .

Для основных элементарных функций (п.1.7), справедлива следующая теорема.

Теорема.

Всякая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Подавляющее большинство функций, которые рассматриваются в математике, являются элементарными. Опираясь на определение элементарной функции (§1.10), непрерывность основных элементарных функций, а также на приведенные выше теоремы можно утверждать, что всякая элементарная функция непрерывна в ее области определения.