Визначення криволінійного інтегралу І роду

Нехай вздовж кривої визначена якась функція , яку назовемо «функцією точки». Повторимо дії, що були проведені вище для задачі про масу кривої для довільної функції . Нехай , побудуємо

= . (30)

Сума (30) є інтегральною сумою для криволінійного інтегралу І типу.

Аналогічний процес побудови інтегральної суми можна використовувати і в випадку замкненої кривої.

Визначення 1. Нехай існує скінченна границя

,

яка не залежить ні від способу розбивки на частки , ні від вибору проміжкових точок , то ця границя називається криволінійним інтегралом І роду від функції по кривій і позначається:

.

Тоді відповідно до формули (20) і визначення 1 маса кривої обчислюється як

.

Зауваження 1. В визначенні криволінійного інтегралу І роду немає значення напрямок, який обирається на кривій , тобто, якщо точки - це кінці кривої , то

.

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл І роду по кривій , яка знаходиться не на площині, а в тривимірному просторі:

.