Алгебраизация обыкновенных дифференциальных уравнений
Требуется найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
При известных начальных условиях t = t0, Х0
Алгебраизация заключается в сведении системы ОДУ к системе конечных (алгебраических) уравнений, решаемых одним из изученных методов.
В случае линейных ОДУ их алгебраизация производится с использованием символьного или операторного методов.
В общем случае как линейных, так и нелинейных ОДУ алгебраизация ОДУ заключается в аппроксимации производных некоторыми выражениями, например отношениями конечных разностей.
Вид аппроксимирующего выражения влияет на точность, устойчивость и скорость вычислений. Методы интегрирования ОДУ различают по виду таких выражений.
Очевидно, что аппроксимация производных некоторыми конечными выражениями, выполненная при некотором значении времени tk справедлива лишь в окрестности этой точки, ограниченной величиной шага интегрирования h.
Для нахождения зависимости на интервале от 0 до Tk необходимо сделать
Ш =(tk – t0) /h,
где Ш – число шагов интегрирования.
Численное решение является приближенным. Оно имеет 2 группы погрешностей:
1) Методические, связанные с аппроксимацией производных (они зависят от метода интегрирования).
2) Округления – обусловленные конечной точностью представления чисел в ЭВМ.
Различают также локальныепогрешности, допущенные на одном шаге интегрирования и накопленные, на определенном интервале за много шагов.
Методы интегрирования делятся на явные и неявные.
В явных методах решение определяется явным способом:
Xk+1 = f(Xk; Xk-1; tk+1).
В неявныхметодах, находя решение системы уравнений:
F(Xk+1; Xk; …. tk+1)= 0.
Различают по характеру изменения накопленной погрешности на устойчивые и неустойчивые.
В устойчивом - погрешность растёт монотонно с увеличением шага.
В неустойчивом – начиная с некоторого критического значения шага интегрирования происходит резкий (катастрофический) рост погрешности.
Различают методы различных порядков по величине накопленной погрешности.
ε ~ ψ(t)hn, где n – порядокметода.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 1254;