Устойчивость линейных многомерных систем.
Два вида устойчивости представляют интерес. Первый вид относится к способности системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после устранения причины, вызвавшей это отклонение, а другой вид относится к способности системы вырабатывать ограниченный выходной сигнал как реакцию на ограниченный входной сигнал.
Устойчивость первого вида: устойчивость по начальным условиям. Способность предварительно невозбужденной системы возвращаться в нулевое состояние равновесия (устойчивость по начальным условиям) связана с ее свободным движением.
Реакция системы
y = yсв +yвын ,
Если u =0 , то
.
Определение. Линейная многомерная система называется устойчивой по начальным условиям, если ее свободное движение с течением времени затухает, т.е. если
,
и неустойчивой в противном случае.
Так как при u(t)=0 , то условие устойчивости можно записать как
.
Здесь 0 –нулевой n-вектор.
Переходная матрица состояния , как показано в параграфе 1.3, определяется соотношением
.
Следовательно,
где ci=Eix0 – n - векторные постоянные коэффициенты.
Как видно из последнего выражения, условие устойчивости будет выполняться, если
.
Вывод. Многосвязная система устойчивая, если все собственные значения si матрицы системы А (другими словами, корни характеристического уравнения системы ) имеют отрицательную вещественную часть. Отсюда, независимо от того, как велико начальное состояние, при . Такую систему называют часто асимптотически устойчивой.
Легко показать, что это условие устойчивости справедливо и для случая кратных собственных значений.
Устойчивость второго вида: устойчивость «ограниченный вход – ограниченный выход» определяется с помощью введения понятия норм векторных сигналов и «коэффициента усиления» многомерной системы.
Каким образом измерить величину векторного сигнала ? Это можно сделать с помощью нормы (вещественного числа), обозначаемой и которая для всех и обладает свойствами:
Норма есть путь измерения величины сигнала . Наиболее часто используется 2-норма (L2- норма или квадратичная норма или «энергия» сигнала):
.
Функциональное пространство сигналов с конечной нормой, , обозначается L2 и называется пространством эль два.
Пример.Рассмотрим векторный сигнал с двумя элементами
.
Квадрат второй нормы L2- нормы определяется как
Энергия сигнала (квадрат нормы) равна , а его L2- норма равна .
Также применяют бесконечную норму ( - норма или максимальное значение сигнала во времени):
где - i-й элемент сигнала .
Обобщим понятие коэффициента усиления усилительного звена на многомерную, как статическую, так и динамическую систему. Пусть S – оператор системы (рис. ниже), связывающий два сигнала выход y(t) и вход u(t):
.
Коэффициент усиления (L2 - индуцированная норма оператора или норма оператора, индуцированная нормами и ) для этой системы определяется как самое большое возможное (верхняя граница) отношение между нормой выхода и нормой входа для всех входных сигналов, являющихся элементами L2-пространства при нулевых начальных условиях,
. (*)
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 1094;