Матричная передаточная функция многомерной системы.
Определение. Матричной ПФ линейной многомерной системы W(p) называется функция, которая связывает преобразования Лапласа выхода и входа u(p)этой предварительно невозбужденной системы,
. (*)
Это есть уравнение «вход - выход» многомерной системы в изображениях.
Поставим задачу выразить матричную ПФ с помощью матриц A, B, C, описывающих модель в переменных состояния.
Для предварительно возбужденной системы l - вектор выхода c учетом выражений и
= CL[x (t)]= ,
где u(p) =L[u(t)] – r-вектор входа.
При х0=0 (система предварительно невозбуждена)
y(p) = CG(p)B u(p).
Следовательно,
.
Матричная передаточная функция W(p) есть матрица . Если l=r=1, то матричная ПФ вырождается в скалярную ПФ
.
В символическом виде матричная ПФ
, ,
где - (i,j)-й элемент (скалярная функция) матричной ПФ, называемый скалярной ПФ.
Выясним смысл скалярных передаточных функций. Представим выражение ( * ) в развернутом виде:
.
Отсюда преобразование Лапласа i-го выхода
(3)
Если мы положим нулю все входы , , кроме j –го входа то
,
Тогда можем найти выражение для скалярной ПФ в следующем виде
.
Вывод. Скалярная передаточная функция – это отношение изображений по Лапласу i-го выходного и j-го входного сигналов предварительно невозбужденной системы при условии, что все остальные входные сигналы, кроме j-го, отсутствуют.
Структурная схема системы, являющаяся графическим отображением
уравнения (3)
представляет собой блок-схему и называется динамической структурной схемой многомерной системы.
Построим динамическую структурную схему (рисунок ниже) для двумерной системы (l= r=2), описываемой уравнениями
При этом используем элементы, которые применялись при построении структурных схем одномерных систем.
Скалярную ПФ можно представить как:
, , .
Здесь - характеристический многочлен системы, Kij(p) –многочлен от p.
Заметим, что матричная ПФ представляет собой преобразование Лапласа от матричной весовой функции: . Действительно,
.
Отсюда матричная весовая функция представляет собой обратное преобразование Лапласа от матричной ПФ,
.
Команда Matlab: [Num,Den]=ss2tf(A,B,C,D)
Определение ПФ по известным A,B,C,D называют переходом от описания системы в переменных состояния к описанию «вход - выход».
Если подставить в выражение для матричной ПФ выражение для резольвенты
,
полученное в предыдущем параграфе, то нетрудно найти, что
Здесь , - постоянные ( ) матрицы. Если r=l=1, то матричный полином K(p) вырождается в скалярный полином
,
где bi – постоянные коэффициенты.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 2185;