Системы счисления. Система счисления – совокупность приемов и правил однозначного обозначения чисел с помощью особых символов: 6

Система счисления – совокупность приемов и правил однозначного обозначения чисел с помощью особых символов: 6, 110₂, XI.

Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления.

Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

Исторически первой системой счисления является односимвольная – использовалась только одна цифра:

•

••

•••

Известны два типа систем счисления:

· непозиционная

· позиционная

В непозиционной системе счисления значение каждой цифры в изображении числа не зависит от ее положения (позиции) в нем. Примером такой системы счисления является римская система счисления, использующая следующие цифры:

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Римская система счисления является аддитивной – число в ней получается как результат сложения и вычитания базовых цифр:

VI 6

IV 4

В этих числах используются две цифры – I и V. Независимо от того, где они стоят в числах, они обозначают цифры 1 и 5, только в первом случае они складываются, а во втором – вычитаются.

Недостатки непозиционных систем счисления:

· большое количество цифр для изображения числа: MCMXCIII – 1993,

· сложность выполнения арифметических операций.

В позиционных системах счисления значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее позиции в нем:

354 = 3×100 + 5×10 + 4×1

В этой записи 3, 5 и 4 являются цифрами десятичной системы счисления, а 100, 10 и 1 – их веса в числе.

Количество цифр, используемых в конкретной системе счисления для изображения числа, называется основанием системы счисления.

В десятичной системе счисления, известной нам с детства, используется десять цифр, поэтому ее основание S=10:

354 = 3×10² + 5×10¹ + 4×10⁰

Вес цифры в числе можно представить как основание системы счисления в степени, равной номеру разряда числа:

10⁰ вес разряда единиц – номер разряда единиц всегда равен нулю!

10¹ вес разряда десятков,

10² вес разряда сотен, и так далее.

Нумерация разрядов в целых числах идет справа налево, начиная с нуля. Самый правый разряд называется младшим разрядом числа, а самый левый – старшим.

Представим веса разрядов в виде последовательности чисел, начиная с разряда единиц:

1, 10, 100, 1000, 10000,…

Такая последовательность чисел называется базисом системы счисления. В традиционных системах счисления базис образуют члены геометрической прогрессии. В нетрадиционных системах счисления базис может быть другим:

фибоначчиева:

алфавит – цифры 0, 1