Крутильний маятник

Крутильний маятник – це тверде тіло, закріплене на жорсткій підвісці, яке може здійснювати крутильні коливання під дією сил пружності деформації кручення підвіски .

При закручуванні маятника на кут виникає момент пружної сили, який намагається повернути маятник у положення рівноваги

M = - f , (3.24)

де f - модуль кручення дротини, який залежить від розмірів

і пружних властивостей матеріалу дротини.

Рис.3.3

Оскільки після закручування маятник буде здійснювати обертальний рух навколо своєї вертикальної осі, яка проходить через точку підвісу вздовж дротини, то:

M= J ,(3.25)

де J– момент інерції маятника відносно осі закручування.

Врахувавши (3.13), (3.24), рівняння (3.25) запишемо у вигляді:

, (3.26)

або:

. (3.27)

Ввівши позначення :

, (3.28)

отримаємо диференціальне рівняння гармонічних коливань крутильного маятника:

. (3.29)

Розв’язком (3.28) є рівняння гармонічних коливань:

φ₀). (3.30)

Період коливань крутильного маятника:

. (3.31)

3.6. Згасаючі коливання

Реальні механічні коливання здійснюються при наявності сил опору середовища. Тому механічна енерґія коливної системи з часом зменшується, а самі коливання загасають. Сила опору середовища переважно пропорційна швидкості руху тіла, що здійснює коливання:

, (3.32)

де r – коефіцієнт опору середовища,

знак ( - ) вказує на протилежний напрям сили опору

і швидкості руху.

Нехай тіло масою m під дією пружної сили -kxі сили опору здійснює коливання вздовж осі OX. Рівняння руху такого тіла:

, (3.33)

або: . (3.34)

Позначивши:

; ,

де - коефіцієнт згасання,

запишемо диференціальне рівняння згасаючих коливань:

. (3.35)

Якщо > ,розв’язком (3.35) є рівняння:

φ₀), (3.36)

яке описує гармонічні коливання з циклічною частотою і змінною у часі амплітудою при початко-

вій амплітуді А₀ (рис.3.4)

A_n+1

A_n

A₀

Рис.3.4

Період згасаючих коливань: . (3.37)

· Декрементом згасання D називається відношення амплітуд двох послідовних коливань:

. (3.38)

· Лоґарифмічним декрементом згасання називається фізична величина:

. (3.39)

· Часом релаксації коливальної системи називається проміжок часу протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів (е– основа натурального лоґарифму)

· Коефіцієнтом згасання називається фізична величина, обернена до часу релаксації:

. (3.40)

· N_е – число коливань, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів, так що =N_еT.

= Т= .(3.41)

Отже лоґарифмічний декремент згасання - це фізична величина, обернена до числа коливань N_e, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів.

· Добротністю системи називається фізична величина:

,(3.42)

де Е – енерґія системи у даний момент часу;

E – енерґія, втрачена протягом одного періоду.

Отже добротність системи тим більша, чим менші втрати

енерґії системи E.Можна показати, що:

= N_e . (3.43)

3.7. Механічні хвилі

Хвиля – це процес поширення коливань у просторі. При поширенні хвилі частинки середовища не втягуються у поступальний рух, а лише коливаються навколо положень рівноваги. При цьому частинки обмінюються енерґією. Тому хвилі переносять енерґію без перенесення речовини.

Механічні (пружні) хвилі - це процес поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі бувають поздовжніми і поперечними.

У випадку поперечної хвилі частинки середовища коливаються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Поперечні хвилі поширюються у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто в твердих тілах. Поперечна хвиля може поширюватися також на поверхні рідини.

Швидкість поширення поперечної хвилі:

, (3.44)

де G – модуль зсуву,

- густина середовища.

У випадку поздовжньої хвилі частинки середовища коливаються у напрямі поширення хвилі. Поздовжні хвилі поширюються у середовищах, де виникають пружні сили при

деформаціях стиску (розтягу), тобто у твердих тілах, рідинах і газах. Швидкість поширення поздовжньої хвилі:

, (3.45)

де Е – модуль Юнґа,

- густина середовища.

Для опису хвиль поряд з такими характеристиками, як амплітуда, період, частота, фаза використовують поняття:

· хвильовий фронт – ґеометричне місце точок середовища, до яких доходять коливання в даний момент часу;

· хвильова поверхня – ґеометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі. За формою хвильової поверхні розрізняють плоскі, сферичні і інші хвилі;

· промінь –лінія, перпендикулярна до хвильової поверхні;

· довжина хвилі () – найменша відстань між двома точками середовища у напрямі, перпендикулярному до напряму поширення, які коливаються в однаковій фазі;

· швидкість хвилі (u) – швидкість поширення постійної фази хвилі;

· хвильове число - .

Довжина хвилі, швидкість, період і частота n зв’язані співвідношеннями:

=uT;

u= ν.

Плоска біжуча хвиля

Хвилі, які переносять у просторі енерґію, називаються біжучими. Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі OX, то -зміщення з положення рівноваги частинок, що коливаються, залежить від їхніх координат x та часу t, тобто .

Частинка В знаходиться на відстані x від джерела коливань О(рис.3.5) . Якщо коливання частинок, які лежать в площині x=0, описуються функцією

, то частинка В коливатиметься за таким же законом, але її коливання будуть запізнюватися у часі порівняно з коливаннями джерела на

Рис.3.5

Тому рівняння біжучої хвилі має вигляд:

. (3.46)

Якщо плоска хвиля поширюється у протилежному напрямі, то:

. (3.47)

У загальному випадку:

[ φ₀] . (3.48)

Враховуючи :

надамо рівнянню плоскої хвилі вигляду:

φ₀). (3.49)

Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.

Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі:

φ = (φ₁– φ₂)

Інтерференція – це явище перерозподілу енергії хвиль в просторі з утворенням стійких в часі областей максимуму і мінімуму енерґії, яке відбувається в результаті накладання когерентних хвиль.

Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль.

Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній:

; φ ; .