Давление под искривленной поверхностью жидкости.
Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению приведет к возникновению давления, дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно, в случае вогнутой поверхности - отрицательно.
 |
Вычислим добавочное давление Dр для сферической поверхности жидкости (рис.9.13). Рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария.
Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются с силой, равной
.
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности 
и, следовательно, обусловливает дополнительное давление
.
Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы R. Чем меньше R, тем больше кривизна поверхности. Для сферической поверхности кривизна Н=1/R.
Если форма поверхности несферическая, то Dр выражается через среднюю кривизну нормального сечения. Нормальным сечением поверхности называется линия пересечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль в данной точке. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны:
(9.8.1)
для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.
Радиусы R1 и R2 в формуле (9.8.1) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен. Неплоская поверхность может иметь среднюю кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы радиусы кривизны R1 и R2 были одинаковы по величине и противоположны по знаку.
Для сферы Н=1/R, поэтому
.
Лаплас доказал, что эта формула справедлива для поверхности любой формы, если под Н понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой определяется дополнительное давление. Подставив сюда выражение для средней кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной поверхностью:
формула Лапласа.
Для сферической искривленной поверхности (R1=R2=R) это выражение переходит в 
, для цилиндрической (R1=R, R2=¥) – избыточное давление 
. В случае плоской поверхности (R1=R2=¥) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают. Добавочное давление обуславливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капилляр), вследствие чего оно еще называется капиллярным давлением.
Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 1898;