Z-преобразование (прямое и обратное, примеры). Основные теоремы Z-преобразования.
При большом числе разрядов АЦП цифровой сигнал x(n) эквивалентен дискретному сигналу , который представляется в виде последовательности взвешенных дельта-функций, площадь которых равна не единице, а значению непрерывного сигнала в моменты взятия отсчетов. Тогда, используя фильтрующее во времени свойство дельта-функций, запишем: где n - номера отсчетов.
Возьмем преобразование Лапласа от сигнала :
= = = . (1)
По этому выражению определяется дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ) по отсчетам x(nT) из непрерывного сигнала. Однако для описания цифровых систем ДПЛ не нашло широкого применения из-за неудобства, связанного с частым повторением в формулах ДПЛ функции . От этого недостатка свободно Z - преобразование, которое следует из ДПЛ введением новой комплексной переменной .
Тогда из (1) имеем формулу прямого Z - преобразования для сигнала x(nT)
. (2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что формула для прямого Z - преобразования проще и компактнее формулы для прямого ДПЛ.
Примеры прямого Z - преобразования.
Единичный импульс
Аналогично для имеем X(p)=1.
Единичный дискретный скачок
= .
Аналогично для x(t)=1(t) имеем откуда следует удобное для практики соответствие между переменной p в преобразовании Лапласа и переменной z в Z - преобразовании .
Наряду с прямым существует обратное Z - преобразование, которое определяется по выражению
= (3)
где - вычеты X(z). Однократные вычеты определяются по формуле
(4)
Выражение для X(z) в этой формуле следует представлять в следующем виде:
где , - нули и полюсы функции X(z) соответственно. Часто букву Т в описании этих сигналов опускают, полагая Т=1, т.е. x(nT)=x(n).
Основные теоремы Z - преобразования
1) Линейность.
Если , то .
2) Смещение во времени.
Если , то .
3) Разность дискретных функций.
Если , то = .
Аналогия: если то , .
4) Сумма дискретных функций.
Если то
Аналогия: если то
5) Свертка двух дискретных функций.
Если то
6) Предельные соотношения:
.
Из этих теорем следует, что между преобразованием Лапласа и Z - преобразованием очень много общего.
34. Системная функция ЦСУ: определение, связь с разностным уравнением ЦСУ.
По аналогии с передаточными функциями для аналоговых систем в цифровых системах введено понятие системных функций, которые по определению есть отношение Z - преобразования от выходного цифрового сигнала y(nT) к Z - преобразованию от входного цифрового сигнала x(nT), т.е.
Дифференциальные уравнения применимы для аналоговых систем, а цифровые системы описываются разностными уравнениями. В разностных уравнениях время изменяется через конечный временной интервал Т, называемый периодом дискретизации.
Покажем на примере, как от дифференциального уравнения переходят к разностному уравнению.
Инерционное звено с передаточной функцией
описывается дифференциальным уравнением, следующим из соотношения
, откуда Y(p) × (1+pa) = X(p), тогда
Так как ,
то введя в дифференциальное уравнение дискретное время nT вместо t, получим следующее разностное уравнение , или
Этим уравнением описывается цифровое инерционное звено первого порядка.
Системные функции W(z) цифровых звеньев можно представить в двух формах:с положительными степенями z в виде
, (1)
с отрицательными степенями z, которая получается из (1) умножением числителя и знаменателя на дробь тогда
(2)
где , откуда а0 = 1.
Вторая форма записи W(z) используется чаще.
По определению и с учетом (2) имеем:
откуда .
Перейдя от изображений к оригиналам, из этого выражения получим следующее разностное уравнение при а0=1:
(3)
где m - порядок разностного уравнения.
Таким образом из системной функции (2) однозначно определяется разностное уравнение (3) и наоборот, по разностному уравнению (3) однозначно определяется системная функция (2).
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 10118;