Z - преобразования функций времени

x(t)	X(s)	x[nT]	X(z)	X(z,s)
d(t)		d[nT]		-
1(t)	1/s	1[nT]	z/(z-1)	z/(z-1)
t	1/s2	nT	Tz/(z-1)2	Tz/(z-1)2+ + +Tsz/(z-1)
	1/(s+a)		z/(z-d) (d= )	. . .
t2/2!	1/s3	(nT)2/2!		. . .
	1/(s+a)2		(d= )	. . .
	1/(s+a)3		(d= )	. . .

Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы [2, 15, 17], фрагмент такой таблицы приведен выше. Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако, семейство модифицированных z-преобразований решетчатой функции для всех s от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

Свойства z-преобразования изложены в [2], поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

1. Свойство линейности. Если F₁(z,s)=Z_s {f₁(t)} и F₂(z,s)=Z_s {f₂(t)}, то

Z_s {a₁f₁(t) + a₂f₂(t)}= a₁ F₁(z,s) + a₂ F₂(z,s). (1.31)

2. Теорема сдвига (смещения). Если Z_s {f(t)} = F(z,s) и t - произвольное положительное число, тогда

(1.32)

где , m - целая, - дробная часть числа t/T;

если t = mT, тогда

Z_s {f(t-mT)}=z^-mF(z,s). (1.33)

3. Изображение обратных разностей

Z{Ñ^kf[nT]}= (1 - z^-1)^kF(z). (1.34)

4. Изображение конечных сумм:

полных , (1.35)

неполных . (1.36)

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

, (1.37)

начальное значение функции оригинала:

. (1.38)

6. Свертка функций. Если F₁(z) = Z{f₁(t)} и F₂(z) = Z{f₂(t)}, то

(1.39)

и

(1.40)

7. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:

(1.41)

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y[nT] импульсной системы с ее входным воздействием f[nT], имеет следующий вид:

a₀y[n]+a₁y[n-1]+...+a_my[n-m] = b₀f[n]+b₁f[n-1]+...+b_lf[n-l], (1.42)

при m ³ l и y[n] º 0, f[n] º 0 для всех n < 0.

Подвергнув исходное уравнение z-преобразованию, получим

a₀Y(z)+a₁ z^-1Y(z)+...+a_m z^-mY(z) = b₀F(z)+b₁ z^-1F(z)+...+b_l z^-lF(z),

которое можно переписать в виде

A(z)Y(z)=B(z)F(z), (1.43)

где полиномы

и . (1.44)

Из (1.43) находим изображение выходной координаты

Y(z)=W(z)F(z), (1.45)

где . (1.46)

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Данная запись отличается от передаточной функции для непрерывных систем тем, что переменная z в полиномах имеет отрицательные степени. Для того, чтобы была полная аналогия с передаточными функциями непрерывных систем, степень переменной z делают положительной путем домножения числителя и знаменателя выражения (1.46) на z^m . Тогда получим формулу, которая полностью аналогична записи для непрерывной функции

. (1.47)

Задача получения разностного уравнения по дискретной передаточной функции решается в обратной последовательности.

Пример.Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f[nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией

.

Решение. Домножим числитель и знаменатель W(z) на z^-2. В результате получим

.

На основании последнего выражения разностное уравнение будет

a₀y[n] + a₁y[n-1] + a₂y[n-2] = b₁f[n-1] + b₂f[n-2].

Его решение при нулевых начальных условиях y[n] º 0, f[n] º 0 для всех n < 0:

y[n] = [1/a₀]´{b₁f[n-1] + b₂f[n-2] - a₁y[n-1] - a₂y[n-2]}.

Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Структурная схема импульсной системы

Комплексный спектр решетчатой функции времени.Комплексный спектр решетчатой функции времени f[n,s] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного w, определяемую следующим выражением:

при -¥ < w < ¥ . (1.48)

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену z = e^jwT, откуда следует, что функция z является периодической функцией w с периодом, равным 2p/T. По этой причине комплексный спектр решетчатой функции также является периодической функцией w того же самого периода:

(1.49)

и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений w, длина которого равна 2p/T. В качестве такого интервала принят интервал

(1.50)

Подобно любой комплексной функции спектр (1.48) может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:

F(e^jwT,s) = А(w, s)´e^{jy(w, s)} = U(w, s) + jV(w, s), (1.51)

где A(w, s), y(w, s), U(w, s), V(w, s) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции f[n,s]. При фиксированном значении w спектр (1.51) изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении w от -p/T до +p/T, конец вектора F(e^jwT,s) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.