Оптимальные стратегии дифференциальной игры

При установлении условия существования оптимальных управлений в дифференциальной игре будет обобщена лемма [47].

Лемма 2.3.1. Пусть − действительный вектор, − действительные вектор-функции, − действительная функция, определенная на и ─ действительная положительно полуопределенная симметрическая матрица. Тогда уравнение

(2.21)

имеет решение относительно в виде

, (2.22)

если и только если

, (2.23)

где

. (2.24)

Здесь и − псевдо обратные (по Муру-Пенроузу) [11] матрицы от и , где вектор, входящий в так, что

. (2.25)

Доказательство. Подставив (2.22) в (2.21), будем иметь

или

Учитывая, что , , где ─ единичная матрица, , получаем

. (2.26)

Откуда

.

Этим получены достаточные условия существования , как решения уравнения (2.21).

Используя уравнение (2.24), получим необходимые условия выполнения Леммы 2.3.1. Добавим и вычтем в левой части уравнения (2.26) выражение . Будем иметь

. (2.27)

Подставляя в (2.27) выражение для , получаем , так как .

Сделаем некоторое добавление к Лемме 2.3.1 для случая, когда положительно определенная матрица обратима.

Добавление 2.3.1. Пусть симметричная положительно определенная действительная матрица обратима для всех .

Тогда уравнение (2.21) имеет решение относительно в виде , (2.28)

где

, (2.29)

если и только если

. (2.30)

Здесь вектор входит в так, что .

Доказательство. Это следует из Леммы 2.3.1.

Следствие 2.3.1. Если положительно определенная матрица представима в виде

,

где матрицы и , то из (2.29) следует, что

. (2.31)

Следующая теорема, сформулированная с использованием Кронекеровского произведения, устанавливает условия существования оптимальных управлений в дифференциальной игре.

Теорема 2.3.1. Пусть для системы

с функционалом

существует положительно определенная дважды дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана

и

,

где − коммутирующий вектор, параметры которого принимают значения , определяемые при анализе устойчивости системы.

Тогда оптимальные управления и определяются выражениями

где и , если выполняются соотношения

Здесь ─ единичная матрица, ─ символ Кронекеровского произведения.

Доказательство.Для доказательства теоремы 2.3.1 используем Лемму 2.3.1. Пусть

, , ,

и .

Тогда условие (2.21) обретает вид уравнения Гамильтона-Якоби

Решение (2.21) в терминах постановки задачи управления имеет вид

.

Таким образом, учитывая (2.8),

(2.32)

(2.33)

Траектория движения системы (2.1) под воздействием оптимальных управлений (2.32), (2.33) будет являться решением дифференциального уравнения

(2.34)

Замечание 2.3.1.В задаче управления линейным объектом

(2.35)

где матрицы , , и имеют соответствующие размерности: , , , , с функционал качества

условие (2.28)

при назначении функции как

перепишется в виде

.

Откуда

.

Оптимальные управления определяются соотношениями [19]:

, .

Функционал качества принимает конечное значение

.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дифференциальная игра: общее решение | SDC-параметризация нелинейных объектов




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 88; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.027 сек.