Реализация графической последовательности с максимальной связностью
В зависимости от выбора ведущих вершин l-процедура может строить различные реализации графической последовательности. Ее можно организовать так, чтобы она строила реализации с некоторыми предписанными свойствами, если, конечно, такие реализации существуют. Ниже показано, как с помощью l-процедуры построить такую реализацию G графической последовательности, число λ(G) реберной связности которой максимально среди всех реализаций.
Пусть d — правильная графическая n-последовательность. Поскольку λ(G)≤ δ(G) для любого графа G (δ(G)—минимальная степень вершин), то мы стремимся построить реализацию G последовательности d с λ(G)=dn.
Вначале построим просто связную реализацию.
Теорема 47.1. Правильная графическая п-последователъностъ d может быть реализована связным графом тогда и только тогда, когда dn > 0 и верно неравенство
Если указанные условия выполняются, то 1-процедура, на каждом шаге которой ведущей является вершина с минимальной положительной меткой, приводит к связному графу.
Замечание. При dn > 1 неравенство (1) выполняется автоматически.
Необходимость условий теоремы очевидна. В самом деле, связный граф порядка п не имеет изолированных вершин и число ребер в нем не менее п—1. Из леммы о рукопожатиях вытекает неравенство (1).
Достаточность докажем индукцией по длине последовательности d. При п = 2 условиям теоремы удовлетворяет только одна последовательность d=(12). Реализацией этой последовательности служит связный граф К2, стало быть, для п = 2 теорема верна. Пусть теперь п > 2 и доказываемое утверждение верно для графических последовательностей, длины которых меньше п. Отдельно рассмотрим два случая: 1) dn = 1, 2) dn> 1.
1) dn = l. Так как n>2, то из неравенства (1) вытекает, что d1 > 1. Рассмотрим производную последовательность
то последовательность dn удовлетворяет условиям теоремы.
2) d n>1. Снова будем различать две ситуации:
a) ddn = 2 и б) ddn>2.
В ситуации а) из условий теоремы следует, что
dn = 2, d2 = 2, d = (m, 2n-1), m > 2.
Для производной последовательности dn имеем
dn=(f1 ,f2 , ...,fn-1) = (m-1, 1,2n-3),
В ситуации б) для производной последовательности dn получаем
Итак, в любой ситуации производная последовательность dn удовлетворяет условиям теоремы и по индуктивному предположению имеет связную реализацию Я, получаемую в результате описанной в формулировке теоремы l-процедуры. Добавив к графу Н новую вершину, смежную с вершинами степеней f1 ,f2 , ...,fdn получим связную реализацию последовательности d.
Аналогично доказывается
Теорема 47.2. п-последователъностъ d может быть реализована деревом тогда и только тогда, когда она не содержит нулей и верно равенство
При выполнении указанных условий l-процедура построит реализацию последовательности d деревом, если на каждом шаге выбирать в качестве ведущей вершину с минимальной положительной меткой.
. На рис. 47.1 показана Z-процедура, строящая дерево,
которое является реализацией последовательности d =
= (32, 2, 14).
Перейдем к графам с более высоким числом реберной связности. Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 47.3 (Д. Уэнг, 1976 г.). Каждая правильная графическая п-последователъностъ d с dn > 1 имеет ализацию, число реберной связности которой равно dn .Такая реализация строится l-процедурощ на каждом шаге которой ведущей является вершина с минимальной положителъной меткой .
■+7 |
-•б |
С числом вершинной связности дело обстоит сложнее. Известно, что правильная графическая n-последовательность d может быть реализована графом с числом вершинной связности dn или dn — 1, причем соответствующую реализацию также можно получить посредством
L - процедуры. Однако доказательство этого факта и описание выбора ведущих вершин достаточно громоздки и потому здесь не приводятся.
Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 256;