Применим метод сечения.
1) Пересечем двуполостный гиперболоид координатными плоскостями.
Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость.
Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна .
Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью
Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением .
2) Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
2.1) Плоскостью .
Уравнения этих линий .
При , , разделив на это число, получим каноническое уравнение эллипса.
При , , то , в сечении получим точку (вершина двуполостного гиперболоида).
При , , правая часть меньше нуля, следовательно, пересечений нет.
2.2) Плоскостью .
Уравнения этих линий .
При любом значении h правая часть первого уравнения системы отрицательна. Разделим на модуль этого выражения и получим . В сечении получается гипербола с действительной осью OZ.
2.3) Плоскостью . Аналогично п. 2.2.
Изображение двуполостного Двуполостный гиперболоид
гиперболоида с помощью сечений
Если в уравнении (3) , то поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения. Его уравнение: .
Двуполостный гиперболоид вращения
ПАРАБОЛОИДЫ
План: 1. Эллиптический параболоид.
2. Гиперболический параболоид.
Вопрос 1.
Определение 1. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , (1).
Исследуем уравнение (1) и определим форму эллиптического параболоида.
1. Точка О (0;0;0) принадлежит эллиптическому параболоиду, так как ее координаты удовлетворяют уравнению (1).
2. Переменные x, y входят в уравнение в четной степени, следовательно, если точка М(x, y, z) принадлежит поверхности, то ей будут принадлежать и очки: М1 (-x, y, z); М2 (x, - y, z); М3 (- x, - y, z).
Таким образом, эллиптический параболоид фигура симметричная относительно координатной оси ОZ, координатных плоскостей XOZ, YOZ.
3. Из уравнения (1) следует, что z ≥ 0, то есть эллиптический параболоид расположен по одну сторону от плоскости XOY.
Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 776;