Определители и их свойства. Вычисление определителей
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Каждой квадратной матрице порядка ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем (детерминантом) матрицы или просто определителем -го порядка.
Обозначения: , , .
Определитель матрицы 1-го порядка определяется как .
Пример 1. .
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле: .
Пример 2. .
Определитель матрицы 3-го порядка вычисляется по формуле:
Эта формула легко запомнить, если представить ее в виде схемы:
“+” “-”
Схема вычисления определителей третьего порядка называется правилом треугольников или правилом Саррюса.
Пример 3.
Пусть дан определитель -го порядка .
Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка (“эн минус первого”), полученный из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Пример 4. .
Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется его минор, взятый со знаком : = .
Пример 5. .
Теорема (Лапласа). Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
, - разложение определителя по строке;
, - разложение определителя по столбцу.
Пример 6. Вычислить определитель .
Решение.Вычислим данный определитель разложением по элементам первой строки:
.
Вычисления по теореме Лапласа становятся очень простыми, если в i-той строке или j-м столбце определителя все элементы кроме одного равны нулю.
В этом случае вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению 1-го определителя (n-1)-го порядка.
Преобразование определителей к нужному виду, а также их вычисление выполняется на основе свойств определителей.
Дата добавления: 2016-02-09; просмотров: 2472;