Оценка параметров нелинейных моделей
Нелинейные уравнения регрессии можно разделить на два класса:
– уравнения, которые с помощью замены переменных можно привести к линейному виду в новых переменных x', y'
(2.15)
– уравнения, для которых это невозможно. Назовем их внутренне нелинейными.
В первом случае, уравнения регрессии преобразуются к линейному виду с помощью введения новых (линеаризующих) переменных x', y'. При этом предварительно формируются массивы значений . В последующем, после определения параметров линейного уравнения регрессии с помощью обратного преобразования можно получить параметры исходного уравнения регрессии, представляющие интерес для исследователя. Линеаризующие преобразования для некоторых нелинейных моделей приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Зависимость | Формула | Преобразование | Зависимость между параметрами |
Гиперболическая | |||
Логарифмическая | |||
Степенная | |||
Экспоненциальная | |||
Показательная |
Для оценки параметров внутренне нелинейных зависимостей также можно применить метод наименьших квадратов и определять оптимальные значения параметров а и b исходя из условия (2.8) или (2.9). Но в данном случае условия (2.10) уже не являются линейными алгебраическими уравнениями относительно параметров а и b, поэтому величины параметров а и b удобнее определять непосредственно из условия (2.9) как значения, доставляющие минимум величине S.
Итерационную процедуру минимизации S в общем виде можно представить в виде следующих последовательных шагов.
1. Задаются некоторые «правдоподобные» начальные (исходные) значения и
параметров а и b.
2. Вычисляются теоретические значения с использованием этих значений параметров.
3. Вычисляются остатки и сумма квадратов остатков .
4. Вносятся изменения в одну или более оценку параметров.
5. Вычисляются новые теоретические значения , остатки и S.
6. Если произошло уменьшение S, то новые значения оценок используются
в качестве новой отправной точки.
7. Шаги 4, 5 и 6 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута ситуация, когда величину S невозможно будет улучшить (в пределах заданной точности).
8. Полученные на последнем шаге значения параметров а и b являются оценками параметров уравнения регрессии, полученными по нелинейным методом наименьших квадратов.
Конкретные методы минимизации S отличаются способом выбора новых измененных значений оценок параметров.
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 1057;