Максимум и минимум функций

Особую роль в исследовании функций играют значения х, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или наоборот.

 

Определение.

Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

 

Значение функции в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом функции.

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

 

Теорема(необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

.

 

Геометрически условие означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох (рис. 5.3).

 
 

 

 


Рис. 5.3


Отметим, что обратная теорема неверна, т.е., если , еще не означает, что − точка экстремума. Например, для функции ее производная равна нулю при , но не точка экстремума (рис. 5.4). Кроме того, функция может иметь экстремум в точке, в которой производная не существует. Например, непрерывная функция производной в точке не имеет, но точка − точка минимума
(рис. 5.5.).

 
 

 


Рис. 5.4 Рис. 5.5

 

Из этого следует, что непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Для того, чтобы выяснить в каких критических точках функция имеет экстремум устанавливают достаточные условия экстремума.

 

Теорема(первое достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то − точка минимума.

 

Графическая иллюстрация теоремы приведена на рис.5.6.

 
 

 

 


Рис. 5.6

 

Замечание.

Если производная не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума (рис.5.7).

 
 

 

 


Рис. 5.7

 

Отыскания экстремумов функции обычно проводят по следующей схеме:

1) найти производную ;

2) найти критические точки, в которых или не существует;

3) исследовать знак слева и справа от каждой критической точки и определить экстремум (максимум или минимум);

4) вычислить значения функции в точках экстремума.

 

Пример

Найти экстремумы функции: .

1) ;

2) ; ; ;

3)

 
 

 

 


для ; (« ↑ »);

для ; (« ↓ »);

для ; (« ↑ »);.

Значит, − точка максимума, − точка минимума;

4) ; .

 


Иногда, исследование знака первой производной слева и справа от критической точки вызывает затруднение. В этом случае такое исследование можно заменить определением знака второй производной в самой точке. На этом основано второе достаточное условие экстремума.

 

Теорема(второе достаточное условие экстремума)

Если в точке первая производная функции равна нулю: , а вторая производная в точке существует и отлична от нуля: , то при в точке функция имеет максимум и минимум − при .

 

Пример

Найти экстремумы функции: на отрезке .

1) ;

2) ; ; , ; ;

3) ;

4) ;

.

Значит, − точка минимума, − точка максимума.

5) ; .

Заметим, что второе достаточное условие экстремума имеет ограниченное применение по сравнению с первым, поскольку неприменимо к точкам, в которых производная не существует или .

 








Дата добавления: 2015-11-10; просмотров: 1506;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.015 сек.