Методы марковских и полумарковских процессов

Основой аналитических методов для решения задач надежности служит теория случайных процессов (марковских, полумарковских, многомерных марковских). При помощи однородных марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний [13, 14, 15] описывается эволюция систем при максимальных ограничениях: все случайные времена, такие как время безотказной работы, время восстановления, временной резерв, время подключения резервных элементов, время между сеансами контроля, время проведения контроля, время существования скрытых отказов и т.д., не должны зависеть от предшествующей истории, а это значит, что они имеют экспоненциальные распределения. Экспоненциальные законы распределения можно использовать только в том случае, когда потоки отказов и восстановлений являются простейшими, то есть обладают свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Часто потоки отказов элементов технических систем можно считать ординарными, однако потоки восстановлений могут быть неординарными, когда одно­временно восстанавливается несколько элементов. Стационарность не соблюдается, если в системе возможно старение или омоложение элементов, и за равные промежутки времени вероятности появления тех или иных событий могут быть различны. Наличие последействия проявляется постоянно, например, после любого ремонта или любого отказа резервированного элемента.

Случайные процессы, с которыми приходится встречаться в теории надежности, далеко выходят за пределы марковских про­цессов. Попытка отказаться от предположения об «экспоненциальности» отказа или восстановления хотя бы одного элемента приводит к появлению значительных трудностей в связи с необходимостью составлять системы интегродифференциаль-ных уравнений. Эти уравнения в теории массового обслуживания впервые рассматривались Р. Форте, Д. Коксом, П.А. Севостьяновым для простейшего входящего потока и произвольного распределения длительности обслуживания заявок. Беляев Ю.К. ввел в рассмотрение класс линейчатых марковских процессов, составил для них интегродифференциальные уравнения и использовал их для решения некоторых задач теории надежности.

Математическое описание функционирования системы с про­извольными распределениями (Эрланга, нормальное и т.д.) часто удается получить с помощью теории полумарковских процессов, когда процессы исправной работы и обслуживания рассматриваются в специально подобранные моменты времени [ ] или марковскими процессами восстановления со специально построенным фазовым пространством [ ]. Эти приемы использовали А.Я. Хинчин и М. Кендалл.

Однако поведение сложной системы с восстановлением лишь в нескольких исключительных и довольно тривиальных случаях уда­ется описать полумарковским процессом. Для расширения круга решаемых задач применяются процессы с вложенными точками, которые также используются для оценки надежности весьма простых восстанавливаемых систем. Методы, основанные на полу марковских процессах, применяются в тех случаях, когда лишь некоторые распределения (часто одно или небольшое их количество) являются произвольными, а остальные- экспоненциальными. Кроме того, эти методы, как правило, позволяют определять лишь стационарные значения показателей надежности, а для исследования переходных процессов функционирования системы здесь возникают значительные трудности. Возможности применения метода ограничены, поскольку в общем виде на их основе не удается разработать математическую модель восстанавливаемой технической системы с учетом структурной избыточности и любой дисциплины ремонта.