Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными

Рассмотренные в §2 волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа существенно отличаются друг от друга. Это отличие заключается и в их физической природе, и в постановке задач, и как увидим ниже, в методах их исследования. Оказывается, что эти уравнения являются представителями трех различных классов, на которые можно разбить большую часть всех уравнений с частными производными второго порядка, линейных относительно вторых производных. Настоящий параграф и будет посвящен этой классификации, при этом мы ограничимся случаем двух независимых переменных.

Итак, рассмотрим уравнение (1.3) в некоторой области плоскости переменных . Предположим, что коэффициенты уравнения (1.3) имеют производные до второго порядка включительно, непрерывные в области ; - непрерывная функция своих аргументов. Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных привести уравнение (1.3) к наиболее простому виду.

Введем новые переменные:

(3.1)

От функций (3.1) потребуем, чтобы они были дважды непрерывно дифференцируемыми и чтобы якобиан

(3.2)

в рассматриваемой области . Как известно, условие (3.2) является необходимым и достаточным для существования обратного преобразования

(3.3)

Преобразования (3.3) позволяют выразить производные в уравнении (1.3) через производные функции по новым переменным . Используя формулы дифференцирования сложных функций нескольких переменных, получаем

(3.4)

Подставляя значения производных из (3.4) в (1.3), приходим к уравнению

(3.5)

где

(3.6)

явное выражение нас не интересует.

Функции найдем так, чтобы обратить некоторые из коэффициентов в нуль. Из соотношений (3.6) видно, что вопрос об обращении в нуль и эквивалентен вопросу разрешимости дифференциального уравнения первого порядка вида

(3.7)

относительно неизвестной функции Поделив уравнение (3.7) на и решая его затем как квадратное уравнение относительно , для определения функции получим два линейных уравнения с частными производными первого порядка вида

(3.8)

Уравнения (3.8) решаются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в нашем случае имеют вид

или

Эти уравнения, в свою очередь, могут быть записаны в виде одного уравнения

(3.9)

Уравнение (3.9) называется характеристическим уравнением для (1.3).Пусть

(3.10)

- общие решения уравнения (3.9). Кривые (3.10) называются характеристиками уравнения (1.3).

Поведение общих решений (3.10), а следовательно, и искомый простейший вид уравнения (1.3), зависит от знака дискриминанта Нетрудно проверить, что

(3.11)

следовательно, знак не меняется при преобразованиях независимых переменных. В связи с этим классификация уравнений вида (1.3) производится по знаку .

Уравнение (1.3) называется в некоторой точке области уравнением

- гиперболического типа, если

- эллиптического типа, если

- параболического типа, если

Если в некоторой области дискриминант или в , то уравнение (1.3) называется соответственно уравнением гиперболического, эллиптического и параболического типа в области .

В приложениях встречаются такие уравнения, у которых не сохраняет знака во всей рассматриваемой области. Это – так называемыевырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа. Мы ими заниматься не будем.