Определение первого и второго начальных моментов газодинамических комплексов на изобарическом участке
Перейдем к определению математических ожиданий начальных моментов газодинамических комплексов в произвольной точке
на изобарическом участке струи.
Имея в виду унификацию расчетных соотношений и согласование их с решениями, получаемыми по модели Рейхардта, введем новые переменные
. (4.4.1)
Кроме того, нормируем комплексы , поделив их на максимальные по модулю величины
в сечении а–а:
. В результате значения
будут меняться в интервале
. С учетом этих преобразований уравнения (4.1.7) – (4.1.9) сведутся к следующим выражениям для математических ожиданий
и
в точке
:
, (4.4.2)
, (4.4.3)
где k=1 при определении и k=2 при определении
.
На больших удалениях от среза одиночного сопла или выходных сечений блока сопл ( ) из-под знака интеграла в формуле (4.4.2) можно вынести функцию
. В результате для этого предельного случая найдем распределения
по сечению b–b струи, характерные для точечного источника:
, (4.4.4)
, (4.4.5)
где – математическое ожидание комплекса
в сечении b–b на оси.
Соотношения (4.4.2) и (4.4.3) легко обобщаются на блочные струи. Если отдельные струи блока взаимодействуют только на изобарическом участке, то выполняется принцип сложения решений:
, (4.4.6)
где – значение
в заданной точке от воздействия всех струй блока;
– значение
в заданной точке от воздействия только j-й струи; N – число струй в блоке.
Основные соотношения для круглых струй.Теперь займемся вычислением интегралов (4.4.2), (4.4.3) для круглых струй. Введем цилиндрическую систему координат (рис. 4.8):
;
;
. (4.4.7)
Рис. 4.8
Поместим начальное сечение а–а в плоскость , а ось струи совместим с координатной осью
. Тогда, подставляя (4.4.7) в (4.4.2), после несложных преобразований получим
(4.4.8)
где – диаметр струи в начальном сечении. Будем отсчитывать полярный угол
от плоскости, проходящей через точку
, и учтем известную зависимость
, (4.4.9)
где – функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента. Так как
– четная функция от
, то
, (4.4.10)
. (4.4.11)
Если величины распределены равномерно по начальному сечению, т.е.
=1,
, и линейные размеры отнесены к
, то (4.4.11) можно записать в виде
, (4.4.12)
. (4.4.13)
На оси струи интеграл выражается через элементарные функции:
. (4.4.14)
Приведем интеграл в правой части (4.4.11) к виду, удобному для вычисления. Преобразуем подынтегральное выражение:
(4.4.15)
и введем для сокращения записи новые переменные:
,
. (4.4.16)
Тогда
(4.4.17)
Функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента находится с помощью асимптотических разложений:
при
, (4.4.18)
при
. (4.4.19)
Соответственно функция с учетом (4.4.18), (4.4.19) представляется в виде:
при
, (4.4.20)
при
. (4.4.21)
Исследование соотношений (4.4.20), (4.4.21) показало, что для обеспечения относительной погрешности вычисления функции не более
при
следует в разложениях
в ряды при
брать не менее восьми, а при
– не менее шести членов.
С учетом сделанных преобразований (4.4.17) запишется в форме
(4.4.22)
Естественно поставить вопрос: зачем нам потребовалось приводить уравнение (4.4.11) к виду (4.4.22)? Чтобы ответить на него, рассмотрим поведение подынтегральных функций в (4.4.11), (4.4.22) при . Легко заметить, что в (4.4.11) возникает неопределенность вида
. К бесконечности стремится функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента при уменьшении
. Практически это означает, что, используя (4.4.11), следует предусмотреть ограничения на возможные значения
. В противном случае произойдет выход порядка сомножителей за допустимые пределы. В формуле (4.4.22) эта неопределенность устранена. Действительно, функция
ограничена, и при любых значениях
ее значения лежат в пределах
При вычислении интеграла в (4.4.22) следует учитывать еще одну особенность, возникающую при расчете в сечениях, близких к начальному. Если величины
и, соответственно,
малы, то резко увеличивается значение верхнего предела
в интеграле (4.4.22). Предполагается, что допустимая ошибка одинакова для всех точек, и, следовательно, шаг по
постоянен.
Заметим, что в исходном интеграле (4.4.11) с постоянными верхним и нижним пределами также будет наблюдаться рост объема вычислений при нахождении этого интеграла с требуемой точностью, когда и
, из-за необходимости уменьшения шага по
.
Объем вычислений при нахождении интеграла в (4.4.22) в случае малых величин можно существенно сократить, если учесть следующее обстоятельство. Функция
быстро убывает с ростом величины абсолютного значения разности
, а функция
ограничена. В результате на большей части промежутка интегрирования подынтегральная функция с достаточной степенью точности может быть принята равной нулю. Целесообразно поэтому из всего промежутка интегрирования от 0 до
вырезать отрезок
, где
определяется допускаемой относительной погрешностью. Оценим величину
. Пусть
,
,
. Тогда для всех точек сечения, удовлетворяющих условию
, при равномерном распределении параметров в начальном сечении изобарического участка
отношение
. Примем
, что даст нам максимум в рассматриваемой оценке, ибо
, и заменим верхний предел интегрирования
в (4.4.22) на
. При этом относительная погрешность вычисления интеграла, вызванная сужением интервала интегрирования, определится зависимостью
. (4.4.23)
Если значение принять равным 5, то при вычислении интеграла в (4.4.22) относительная погрешность
не превысит значения
.
Общие сведения о связи обобщенных продольных координат с физической
.Соотношения (4.4.2) и (4.4.22) дляопределения начальных моментов
содержат неизвестные величины
, которые характеризуют отклонения квазичастиц от прямолинейных траекторий при их случайном блуждании. Эти величины при фиксированных параметрах на срезе сопла и в окружающей среде имеют размерность длины и зависят от продольной физической координаты
. Поэтому они были названы обобщенными продольными координатами точки
. Связь обобщенных
и физической
продольных координат устанавливается из опыта.
Приведем сводку формул для определения в круглых струях обобщенных координат по заданным величинам
. Эти формулы получены в результате обработки обширного материала по экспериментальному изучению турбулентных течений и охватывают большинство встречающихся на практике типов струй.
Обобщенные координаты связаны друг с другом простыми зависимостями
, (4.4.24)
которые достаточно точно выполняются при всех сочетаниях параметров на срезе сопла и в окружающей среде. Следовательно, нам нужно установить связь с физической продольной координатой только одной из переменных
, например
.
Анализ показал, что на ход кривых влияют следующие факторы: среднемассовое число Маха
, нерасчетность n, отношение плотностей
и скорость спутного потока.
Опытные зависимости для затопленных
дозвуковых струй.В дозвуковых затопленных струях число значимых факторов сводится к двум: числу Маха в начальном сечении изобарического участка и отношению плотностей струи и окружающей среды . Рассмотрим воздействие каждого из этих факторов отдельно, а затем их совместное воздействие на зависимость
.
Пусть плотность в струе равна плотности в окружающей среде . Так как струя истекает в затопленное пространство при скоростях, меньших скорости звука, то начальное сечение изобарического участка совпадает со срезом сопла, а значения
и
равны.
При связь обобщенной продольной координаты
с физической
дается формулой
, (4.4.25)
где постоянная принимается равной:
, (4.4.26)
(4.4.27)
. (4.4.28)
Приведем теперь формулы, учитывающие влияние различий в плотностях струи и окружающей среды на зависимость . Введем параметр
:
, (4.4.29)
который характеризует отношение плотности окружающей среды к средней по сечению плотности струи. Для круглой струи
. (4.4.30)
Экспериментальные исследования показали, что с ростом значения производная
медленно увеличивается.
Если параметр меняется в пределах
, то для определения зависимости
может быть сохранена линейная модель
, (4.4.31)
где постоянная ,
– опытная зависимость,
, (4.4.32)
– значение параметра
на срезе сопла. Формула (4.4.32) записана для таких типов струй, в которых плотность изменяется только из-за перемешивания вещества струи с окружающей средой.
В струях с диффузионным факелом горения процесс перемешивания сопровождается выделением химической энергии при догорании продуктов неполного окисления топлива в атмосфере. Это вызывает повышение температуры в зоне факела и увеличение , так как увеличение температуры при постоянном давлении эквивалентно уменьшению плотности ρ. Зависимости (4.4.31), (4.4.32) остаются справедливыми и для струй с факелом, но в (4.4.32) вместо
следует подставить среднее по длине факела значение
.
При совместном воздействии обоих факторов – числа Маха на срезе сопла и параметра ω – зависимость для дозвуковой затопленной струи остается линейной:
, (4.4.33)
где корректирующие сомножители находятся соответственно по (4.4.27), (4.4.32).
Если значения ω в струе выходят за пределы интервала , то производная
будет заметно меняться по длине струи. Такая ситуация обычна, например, для струй плазмы. Использование линейной зависимости (4.4.33) в этом случае приведет к большим ошибкам. Здесь уже требуется интегрировать уравнение
, (4.4.34)
которое аппроксимирует экспериментальные результаты при изменении параметра ω в диапазоне .
Опытные зависимости для затопленных сверхзвуковых струй.При переходе от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым выделим в затопленной струе две части: сверхзвуковую и дозвуковую. Границей между ними будет сечение, начиная с которого поток становится дозвуковым по всему полю струи. Пусть продольная координата этого сечения
.
Расчет газодинамических параметров в сечениях струй с координатой показал, что в этих сечениях среднемассовое число Маха
близко к 0,5, а число Маха на оси струи
равно единице. За указанными сечениями вниз по потоку
, (4.4.35)
где ;
; значение
соответствует продольной координате конца сверхзвуковой части струи:
. Величина коэффициента пропорциональности С в (4.4.35) находится в том же диапазоне, что и для рассмотренных ранее затопленных струй малой скорости
.
Длина сверхзвуковой части струи определяется до значений
по формуле
, (4.4.36)
где и
соответственно значения диаметра начального сечения изобарического участка и среднемассового числа Маха в нем.
Коэффициент учитывает влияние нерасчетности n:
; (4.4.37)
.
Коэффициент связан с изменением параметра ω по длине турбулентной струи. Определяется он точно так же, как и для дозвуковых струй. Для струй ракетных двигателей, например, коэффициент
примерно одинаков и равен:
. Для неизотермических струй без физико-химических превращений
может быть вычислен по формуле
. (4.4.38)
Поставим теперь в соответствие длине сверхзвуковой части струи обобщенную продольную координату
.
Значение определяется по формуле
, (4.4.39)
где – диаметр выходного сечения сопла.
Приближенно полагаем, ввиду небольшого диапазона возможных изменений показателя адиабаты , что
. (4.4.40)
Итак, мы имеем два опорных сечения: срез сопла ,
и сечение, отделяющее сверхзвуковую и дозвуковую области струи,
,
.
Для дозвуковой области струи зависимость известна – это соотношение (4.4.35). Для сверхзвуковой области обработка опытных данных в широком диапазоне изменения среднемассового числа Маха в начальном сечении изобарического участка
приводит к формуле
(4.4.41)
где .
Влияние спутного потока на зависимость .Введем параметр спутности
, (4.4.42)
где – средняя по начальному сечению изобарического участка скорость струи. При дозвуковых скоростях истечения
, так как в этом случае выходное сечение сопла и начальное сечение изобарического участка совпадают.
Влияние параметра спутности сводится просто к изменению масштаба зависимости
, полученной для затопленной струи
, (4.4.43)
где – обобщенная продольная координата
для затопленной струи,
– коэффициент, учитывающий спутный поток.
Кусочно-параболическая аппроксимация зависимости , обобщающая результаты большого числа экспериментальных исследований при
, имеет вид
(4.4.44)
Зависимости для блочных струй.Для получения опытных зависимостей
разделим блочные затопленные струи на две группы. К первой группе отнесем те блочные струи, в которых в зоне взаимодействия одиночных струй, входящих в блок, скорости дозвуковые. Тогда в выбранной точке турбулентной блочной струи комплексы
определяются в соответствии с принципом суперпозиции (см. (4.4.6)), а зависимости
, используемые при нахождении значений комплекса
от воздействия отдельной j-й струи, входящей в блок, считаются такими же, как для соответствующих одиночных струй.
Ко второй группе отнесем затопленные блочные струи, в которых взаимное влияние отдельных струй, входящих в блок, обнаруживается уже в пределах области сверхзвуковых скоростей. Схема расчета зависимостей для блочной струи в этом случае строится следующим образом. До соприкосновения струй блока параметры в них, в том числе зависимости
, рассчитываются для каждой струи отдельно. Сечение, начиная с которого наблюдается взаимное наложение пограничных слоев струй блока и формирование одной струи сложной формы, принимается за начальное сечение а–а изобарического участка одиночной струи. Далее расчет проводится так же, как для одиночной струи.
В заключение остановимся еще на одной особенности расчета зависимостей для блочных струй. Речь идет о явлении «слипания» струй блока. При большой кривизне осей отдельных струй продольную физическую координату
следует отсчитывать вдоль фактических осей струй с учетом их сближения в составной струе.
Анализ опытных данных показал, что основным фактором, определяющим сближение отдельных струй, истекающих из блока сопл, является геометрия блока, а начальный подогрев, физико-химические превращения и состав газа на срезах сопл слабо влияют на этот процесс. Указанное свойство блочных струй позволяет при опытном определении отклонений осей струй, входящих в блок, проводить моделирование на «холодных» струях.
4.5. Определение газодинамических параметров по заданным
величинам комплексов
При определении статистических характеристик газодинамических параметров (математических ожиданий и среднеквадратических отклонений) нам неоднократно потребуется находить газодинамические параметры по известным величинам комплексов .
Итак, пусть известны комплексы , параметры окружающей среды и таблично заданные функции
,
,
. Всю систему уравнений, определяющую значения газодинамических параметров на изобарическом участке
, разобьем на две части. К первой отнесем те уравнения, которые решаются совместно. Это система из семи уравнений:
(4.5.1)
,
определяющая семь неизвестных:
Заметим, что система (4.5.1) имеет один и тот же вид, как для струй с «замороженным» составом, так и для струй с равновесными физико-химическими превращениями. Различие будет лишь в таблицах ,
,
. Более того, одни и те же таблицы могут быть использованы для расчета и равновесного, и “замороженного” истечения. В последнем случае в таблицах следует оставить только те значения
, R и
, которые соответствуют величинам
и
. Вследствие линейности зависимостей
и
от параметра
при механическом смешении без химических реакций из построенных таким образом таблиц будем иметь термодинамические характеристики для «замороженного» истечения. Так как показатель адиабаты меняется незначительно, то и его зависимость от
для «замороженного» состава близка к линейной. Для расчета параметров при равновесном истечении используются полные таблицы термодинамических характеристик.
Система (4.5.1) решается следующим образом. Разделив первое и второе ее уравнения на третье, получим цепочку соотношений, последовательно определяющих газодинамические параметры в зависимости от переменной , параметров окружающей среды и комплексов
:
(4.5.2)
При определении значения используем метод половинного деления для нахождения корня на отрезке
. Замыкающим уравнением, позволяющим определить
, может быть, например, первое уравнение системы (4.5.1).
В соответствии с методом половинного деления в первом приближении нижнюю и верхнюю границы диапазонов изменения принимаем равными:
,
, где индексом «н» будем обозначать газодинамические параметры на нижней, а индексом «в» – на верхней границах. Делим промежуток
пополам, определяем среднюю точку
и находим значения газодинамических параметров при
по системе (4.5.2). Если
, (4.5.3)
где и
– значения выражения
соответственно при
и
, то значение
, обеспечивающее выполнение замыкающего условия
, будет в промежутке от
до
. Тогда принимаем
за новую верхнюю границу
. В противоположном случае
. Сузив таким образом диапазон, в котором находится искомое значение
, снова делим этот диапазон пополам и повторяем все вычисления. Процесс сближения продолжается до тех пор, пока разность
не станет меньше допускаемой ошибки вычисления
. В результате решения (4.5.1) изложенным методом получим следующие параметры:
Ко второй части отнесем вспомогательные уравнения, выражающие остальные газодинамические параметры и их комбинации через уже вычисленные. Это формулы для определения показателя адиабаты при температуре, равной температуре смеси,
(4.5.4)
скорости звука
(4.5.5)
числа Маха
(4.5.6)
температуры торможения
(4.5.7)
среднего значения показателя адиабаты в диапазоне изменения температур от до
:
(4.5.8)
давления торможения, замеряемого трубкой Пито,
при
, (4.5.9)
(4.5.10)
при
и комплексов
На этом процесс вычисления газодинамических параметров по заданным комплексам заканчивается.
Дата добавления: 2018-11-25; просмотров: 320;