Общие и частные свойства композиции распределений.

Общими называют такие свойства композиций распределений, которые не зависят от вида исходных законов распределения, составляющих композицию. Это следующие свойства:

1. Математическое ожидание случайной величиныYравно арифметической сумме математических ожиданий случайных величин, законы распределения которых составляют композицию распределений:

M[Y]=M[X₁]+ M[X₂]+ M[X₃]+ …+ M[X_n]

2. Дисперсия случайной величины Y равна арифметической сумме дисперсий случайных величин, законы распределения которых составляют композицию распределений:

Из этих свойств можно сделать два вывода:

1) с ростом числа изделий п в выборке коэффициент вариации убывает, а следовательно, мера точности возрастает пропорционально

2) если имеются две (или более) случайные величины с резко отличными средними квадратическими отклонениями, то в композиции их распределений случайная величина с меньшей дисперсией практически не оказывает влияния на суммарную дисперсию.

Частные свойства композиции распределений зависят от конкретного вида исходных законов распределения, составляющих композицию. Предположим, что случайные величины Х₁ и Х₂ имеют распределения, описываемые экспоненциальными законами с одним и тем же параметром l:

M[X₁]=M[X₂]=l/l; s[X₁]= s[X₂]= l/l.

Рассмотрим, будет ли композиция этих законов также описываться экспоненциальным законом распределения. Согласно первому общему свойству для Y=X₁+X₂,

M[Y]=M[X₁]+ M[X₂]=1/l+1/l=2/l

Тогда коэффициент вариации

В результате композиции двух экспоненциальных распределений новое распределение не подчиняется экспоненциальному закону, при котором коэффициент вариации всегда равен единице. Если взять два распределения Вейбулла, то в композиции не получится распределение Вейбулла. То же можно сказать и о других законах распределения, за исключением законов Пуассона и Гаусса.

При большом числе распределений любого вида распределение их композиции близко к гауссовскому. Более того, в результате композиции большого числа неодинаковых распределений независимых случайных величин с различными, но не очень сильно отличающимися друг от друга дисперсиями и математическими ожиданиями получается также гауссовское распределение.Этоположение теории вероятностей называется центральной предельной теоремой, которая определяет особую роль гауссовского распределения в теории вероятностей.[9]

Композиция распределения встречается на практике при обобщении результатов испытаний нескольких выборок, взятых из различных партий изделий.

Предположим, что на испытания предъявляется партия, состоящая из N изделий. Из них для N₁ изделий плотность вероятности случайной величины Х составляет f₁(X), а для N₂ изделий — f₂(X). Например, когда партию изделий, предъявляемых заказчику, комплектуют из однотипных изделий, изготовленных из различных партий сырья и полуфабрикатов или на различных технологических линиях. В этом случае получается суперпозиция распределений f₁(X) и f₂(X):

f(Y)=w₁f₁(X)+ w₂f₂(X)

где w₁ =N₁/N; w₂ =N₂/N.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y в суперпозиции распределений определяются выражениями

M[Y]=w₁M₁[X]+ w₂M₂[X]