Уравнение метода начальных параметров

Совместное действие продольных и поперечных нагрузок приводит к так называемому продольно-поперечному изгибу, при котором существенный рост перемещений и напряжений может происходить при нагрузках, существенно меньших критических. Это определяет важность расчетов на продольно-поперечный изгиб. Для решения задач продольно-поперечного изгиба сжатых и сжато-изогнутых стержней необходимо уметь определять прогибы, углы поворота сечений, изгибающие моменты и поперечные силы при одновременном действии продольных и поперечных нагрузок. Для решения этой задачи воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки

.

(7.22)

Предположим, что на балку действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, опорные моменты и осевая сила N(рис.7.5). Предположим также, для общности рассуждений, что левая опора упруго-податлива и под действием приложенных нагрузок получает перемещение . Продольными перемещениями балки пренебрежем ввиду их малости.

При принятых предпосылках уравнение (7.22) принимает вид

,

(7.23)

где N(y₀ - y) - дополнительный изгибающий момент, обусловленный продольной силой.

Представим уравнение (7.23) в виде

,

(7.24)

где = N/E I .

Решение дифференциального уравнения (7.24) имеет вид

,

(7.25)

где у_об - общее решение однородного уравнения

,

(7.26)

а у_част - частное решение неоднородного уравнения (7.24).

Общее решение однородного уравнения (7.25) записывается так:

Частное решение найдем в виде

Коэффициенты C₁ - C₃ найдем, вычислив предварительно вторую производную _част , подставив у_част и _част в формулу (7.24) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Получим

,	(7.29)
.	(7.30)

Следовательно,

.

Подставив найденные значения коэффициентов С₁ , С₂ и С₃ в уравнение (7.28), получаем

.

(7.31)

По формуле (7.25) с учетом (7.27) и (7.31) получаем

(7.32)

Выразим коэффициенты А и В через перемещение и угол поворота в начале координат. Предварительно найдем выражение для углов поворота, продифференцировав формулу (7.32).

(7.33)

Подставляя х = 0 в формулы (7.32) и (7.33), получаем

	(7.34)
.	(7.35)

Отсюда

Подставив значения коэффициентов А и В в уравнение (7.32), после элементарных преобразований получаем

(7.36)

Дифференцируя (7.36), находим общее выражение для угла наклона касательной к изогнутой оси балки:

(7.37)

Изгибающий момент в любом сечении балки найдем из уравнения (7.22) с использованием найденного решения для у (7.36):

(7.38)

Поперечная сила в любом сечении может быть найдена на основании известной дифференциальной зависимости

.

(7.39)

Полученные формулы дают возможность полностью исследовать напряженно-деформированное состояние балки, нагруженной, как показано на рис. 7.1. Уравнения (7.36)-(7.39) являются уравнениями метода начальных параметров, так как все исследуемые величины выражены через перемещения и усилия в начале координат.

Перейдем теперь к получению уравнений метода начальных параметров для балки, имеющей два различным образом нагруженных участка, как показано на рис. 7.6.

Дифференциальное уравнение для первого участка балки записывается в виде (7.24)

(7.40)

Для второго участка, на основании (7.22), имеем

,

(7.41)

или

.

(7.42)

Вычитая из уравнения (7.40) уравнение (7.42), получаем

,

(7.43)

где Dу = у₂ - у₁ - приращение перемещения на втором участке по сравнению с первым.

Решая уравнение (7.43) описанным выше способом, но используя в качестве граничных условий равенство нулю приращений прогибов и углов поворота на границе между участками (условие стыковки участков), т.е. при х=а, получаем

(7.44)

Вычислив y₂ = y₁ +Dу, на основании (7.22) найдем

(7.45)

Поперечная сила на втором участке находится обычным способом

(7.46)

Для практических расчетов может понадобиться уравнение для приращений углов поворота на втором участке, Получим его, продифференцировав выражение (7.44):

.

(7.47)