Устойчивость однопролетных стержней постоянного сечения

Стержни теряют устойчивость при действии нагрузок, направленных вдоль оси и вызывающих сжатие. Исходной формой равновесия при этом является прямолинейная, а смежной, соответствующей потере устойчивости, - криволинейная (изгибная).

Рассмотрим шарнирно-опертый стержень, сжимаемый силой N (рис. 7.1).

Собственным весом стержня пренебрежем. При достижении силой N критического значения наряду с исходной прямолинейной становится возможной смежная, криволинейная форма равновесия. Решим задачу статическим методом. Для этого составим дифференциальное уравнение изогнутой оси:

,

(7.1)

или

.

(7.2)

Обозначим

.

(7.3)

Уравнение (7.2) с учетом (7.3) записывается так:

.

(7.4)

Решение уравнения (7.4) записывается в виде

.

(7.5)

Пренебрегая сближением концов стержня при изгибе, что равносильно допущению о потере устойчивости в малом, запишем граничные условия в виде:

1) при x=0 y=0;

2) при x=l y=0.

Первое условие дает

.

(7.6)

Из второго условия получаем

.

(7.7)

Из формулы (7.5) следует, что либо А=0, либо . Но при А=0 искривления стержня не происходит, следовательно . Последнее равенство имеет место лишь в том случае, если . С учетом обозначения (7.3) имеем

.

(7.8)

Минимальное значение критической силы получаем при n=1. Следовательно

.

(7.9)

Для однопролетных стержней с различными условиями опирания минимальное значение критической нагрузки находится в по формуле

,

(7.10)

где - коэффициент приведения длины, зависящий от способов опирания.

Формула (14.10) известна как формула Эйлера.

Критическое напряжение может быть найдено по формуле

(7.11)

где - приведенная гибкость стержня, - минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

Вывод формулы Эйлера основан на использовании дифференциального уравнения упругой линии стержня, которое справедливо лишь для области упругих деформаций. Поэтому формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности, т.е.

,

откуда

.

Если потеря устойчивости происходит в упруго-пластической стадии, то критическое напряжение вычисляется по эмпирической формуле Ясинского:

(7.12)

где a,b и c - опытные коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжений (см. табл. 7.1).

Таблица 7.1

Материал	E	пц	a	b	C	0	пред
	Мпа
Сталь Ст. 2	2 105			0.7	-
Сталь Ст.3	2 105			1.14	-
Сталь Ст.4	2 105			1.15	-
Сталь Ст.5	2 105			1.13	-
Сталь 45	2 105			1.67	-
Сплав Д16Т	0.7105			2.83	-
Чугун	1.2 105				0.053	-

Критическая сила в этом случае подсчитывается по формуле

.

Формулой Ясинского следует пользоваться, если расчетная гибкость удовлетворяет следующему соотношению:

где ₀ - гибкость, при которой напряжения в поперечном сечении сжатого стержня равны пределу текучести.

Критические напряжения в стержне при гибкости в интервале могут быть определены также по следующей эмпирической формуле

где - предел текучести материала стержня.

Заметим, что в любом случае критическое напряжение может быть выражено в зависимости от гибкости и свойств материала. Формулы (7.11) и (7.12) можно записать в виде

,

(7.13)

где - коэффициент, зависящий от гибкости и свойств материала.

Условие устойчивости стержня можно записать в виде

,

(7.14)

где n - коэффициент запаса, - допускаемое напряжение, обычно принимаемое в расчетах на прочность. Формулу (7.14) можно записать также в виде

.

(7.15)

Таким образом, расчеты стержней на устойчивость можно вести так же, как и расчеты на прочность при сжатии, но при пониженном значении допускаемого напряжения. Коэффициент , меньший или равный единице, называется коэффициентом снижения допускаемого напряжения. Значения этого коэффициента приводятся в справочной литературе. В табл. 7.2 приведены значения коэффициента j для некоторых материалов.

Таблица 7.2

Значения коэффициента снижения допускаемого напряжения

	Сталь Ст.2 Ст.3 Ст.4	Сталь Ст.5	Чугун		Сталь Ст.2 Ст.3 Ст.4	Сталь Ст.5
	1.00	1.00	1.00		0.45	0.37
	0.99	0.98	0.97		0.40	0.30
	0.97	0.96	0.91		0.36	0.28
	0.95	0.93	0.81		0.32	0.25
	0.92	0.90	0.69		0.29	0.23
	0.89	0.85	0.57		0.26	0.21
	0.86	0.80	0.44		0.23	0.19
	0.81	0.74	0.34		0.21	0.17
	0.75	0.67	0.26		0.19	0.15
	0.69	0.59	0.20		0.17	0.14
	0.60	0.50	0.18		0.16	0.13
	0.52	0.43	-

Расчеты на устойчивость сводятся в основном к определению допускаемого значения сжимающей силы при известных размерах поперечного сечения или к подбору размеров поперечного сечения при заданной величине сжимающей силы.