Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
В движущейся идеальной жидкости, плотность которой , выделим элементарный параллелепипед размерами и запишем дифференциальные уравнения движения этого объема жидкости в координатной форме, рассматривая его как материальную точку.
На элемент действуют составляющие сил давления и массовых сил, интенсивность которых на единицу массы по направлению осей равна (рис. 6.1).
Рис. 6.1 |
На рисунке показаны только составляющая массовых сил по оси , давление на гранях перпендикулярных оси и составляющая ускорения по оси , что позволяет записать уравнение движения выделенного объема в направлении оси
. | (6.1) |
Так как масса элементарного объема легко определяется через массовую плотность
, | (6.2) |
то после деления обеих частей уравнения (6.1) на (6.2), получаем
. | (6.3) |
С учетом того, что , где – проекция скорости элементарного объема на ось , уравнение (6.3) принимает вид
. | (6.4) |
Действуя аналогично можно получить уравнения движения выделенного элемента в направлении осей и . Таким образом система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
, , | (6.5) |
Уравнение Бернулли для установившегося движения при действии
потенциальных сил
Последовательно умножим уравнения (6.5) на и сложим полученные результаты
(6.6) |
При установившемся движении
, | (6.7) |
тогда в рассматриваемый момент времени
. | (6.8) |
В движущейся жидкости размеры элементарного параллелепипеда можно определить через составляющие скорости частицы
. | (6.9) |
С учетом (6.9) правая часть уравнения (6.6) приводится к виду
(6.10) |
Если движение жидкости происходит в потенциальном силовом поле, то составляющие интенсивности массовых сил определяются через потенциальную энергию этого поля, приведенную к единице массы
(6.11) |
Принимая во внимание (6.11), первое слагаемое в левой части уравнения (6.6) можно записать так
(6.12) |
С учетом (6.8), (6.10), (6.12) уравнение (6.6) принимает следующий вид
(6.13) |
Так как идеальная жидкость – это несжимаемая жидкость, и (6.13) можно записать в виде
, | (6.14) |
или
. | (6.15) |
Уравнение (6.15) и является уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении, когда элементарную струйку можно отождествлять с линией тока. Для различных линий тока значения константы в уравнении (6.15) будут разными.
Замечание. Более детальное изучение движения частицы жидкости позволяет установить, что при изменении положения в пространстве происходит изменение ее формы и объема. Движение можно представить как сумму трех движений: поступательного (вместе с полюсом), деформационного (за счет изменения размеров) и вращательного (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс).
По характеру движения частиц различаютвихревое и потенциальное движения.
Вихревым движением называют такое движение, при котором движущиеся частицы жидкости вращаются вокруг осей, проходящих через их полюсы. Вихревое движение характеризуется вихревыми линиями – линиями, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором угловой скорости .
Движение, при котором такое вращение отсутствует, называется безвихревым или потенциальным движением.
Уравнение Бернулли справедливо:
· вдоль линии тока;
· на вихревых линиях;
· при винтовом движении, когда векторы линейной и угловой скоростей параллельны (линия тока совпадает с вихревой линией);
· при потенциальном движении;
· при статическом равновесии жидкости.
Проведем детальное рассмотрение параметров, характеризующих движение жидкой частицы, но ограничимся только движением в плоскости xy (рис. 6.2).
Рис. 6.2 |
Частица жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6.1) имеет в точке О локальную скорость, составляющие которой равны , . Если О полюс, движущейся частицы, за время сместится на расстояние в направлении оси x и на расстояние в направлении оси y, то за счет приращения скорости в направлении осей и ребра частицы получат абсолютные удлинения:
- по оси ; - по оси . | (6.16) |
Кроме деформаций удлинения частица в окрестности точки О претерпевает деформации сдвига, характеризуемые углами и
; . | (6.17) |
Суммарную деформацию сдвига в плоскости равную можно разложить на две составляющие:
деформацию сдвига, характеризуемую углами
(6.18) |
и поворот частицы относительно оси , проходящей через полюс О, на угол
(6.19) |
Следовательно, изменение положения и формы частицы в плоскости характеризуется:
скоростями линейных относительных деформаций
, | (6.20) |
скоростью деформации сдвига
(6.21) |
угловой скоростью вращения частицы относительно оси
(6.22) |
В общем случае деформационное движение частицы характеризуется:
скоростями линейных деформаций
, , ; | (6.23) |
скоростями угловых деформаций
; | (6.24) |
составляющими мгновенных угловых скоростей
; | (6.25) |
Вектор мгновенной угловой скорости направлен по нормали к плоскости в которой происходит вращение, а его модуль легко определяется по составляющим
. | (6.26) |
С направлением вектора связано определение вихревой линии – линии, в каждой точке которой вектор угловой скорости совпадает с направлением касательной к этой линии (рис.6.3).
Рис. 6.3 |
Дифференциальное уравнение вихревой линии имеет вид
, | (6.27) |
где рассматривается как параметр.
Дата добавления: 2017-12-07; просмотров: 650;