Свойства функций, непрерывных на отрезке

10 . (Первая теорема Вейерштрасса[2]). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие .

20. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

30. (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

40 .Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.

50 .(Первая теорема Больцано – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х1Î[a,b] и x2Î[a,b] таких, что ïх2х1ï< D верно неравенство ïf(x2) – f(x1)ï < e

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.

60 . (Теорема Кантора[3]) Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем (свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов).

Пример 24. .

Рис. 9

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число D>0 такое, что существуют значения х1 и х2 такие, чтоïf(x1) – f(x2)ï>e, e - любое число при условии, что х1 и х2 близки к нулю.

70 . Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример 25. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

 

-4 -1 0 1 х

 

 

Рис. 10

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Точки разрыва и их классификация | Дифференциальное исчисление функции одной переменной


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 152; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.