Закон распределения дискретной случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причём заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина связана со случайным событием. Если случайное событие – это качественная характеристика испытаний, то случайная величина – его количественная характеристика. Если при этом события независимы, то и соответствующие случайные величины также независимы.

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, их значения – соответствующими строчными буквами.

Случайные величины делятся на два типа: дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если все возможные значения изолированы друг от друга и их можно занумеровать.

Случайную величину называют непрерывной, если все её возможные значения заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Его чаще всего задают в виде следующей таблицы:

Таблица № 1 Закон распределения

События x_n являются несовместными и единственно возможными, то есть они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице.

Пример 1Разыгрываются две вещи стоимостью по 5 рублей и одна вещь стоимостью 30 рублей. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5 и 30 рублей. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – 2 случая и третьему – один случай. Найдём их вероятности:

Р(х₁) = 47/50 = 0,94, Р(х₂) = 2/50 = 0,04, Р(х₃) = 1/50 = 0,02.

Закон распределения случайной величины имеет вид

В качестве проверки найдём Р(х₁) + Р(х₂) + Р(х₃) = 0,94 + 0,04 + 0,02 = 1

Закон распределения дискретной случайной величины называется биноминальным, если вероятности возможных её значений вычисляются по формуле Бернулли, которая имеет вид:

, где (1)

– число сочетаний,

– вероятность наступления события.

Пример 2Монету подбрасывают пять раз. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадения герба.

Решение. Возможны следующие значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна 1/2, найдём вероятности значений случайной величины Х по формуле (1):

Закон распределения имеет вид

Произведём проверку: 1/32 + 5/32 + 10/32 + 10/32 + 5/32 + 1/32 = 1.

Пример 3 Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что при этом герб выпадет ровно три раза?

Решение. Пусть А_10,3 – событие, состоящее в том, что при десяти кратном подбрасывании монеты герб выпадет три раза. При этом вероятность выпадения герба равна 0,5, то есть р = 0.5. Подставляя эти значения в формулу (1), получим