Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения
Вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
В случае двух несовместных событий А и В имеем:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (7)
Событие, противоположное событию А обозначают 
. Объединение событий А и даёт событие достоверное, а поскольку события А и несовместны, то
Р(А) +Р( ) = 1 (8)
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А и обозначается символом РВ(А).
Если события А и В независимые, то Р(В) = РА(В).
События А, В, С, … называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой комбинации их и в любом числе.
Теорема умножения
Вероятность того, что произойдут события и А, и В, и С, … равна произведению их вероятностей, вычисленных в предположении, что все предшествующие каждому из них события имели место, т. е.
Р(АВ) = Р(А)РА(В)(9)
Запись РА(В) обозначает вероятность события В в предположении, что событие А уже имело место.
Если события А, В, С, … независимы в совокупности, то вероятность того, что произойдут все они, равна произведению их вероятностей:
Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) (10)
Пример 3.1.В мешке лежат шары: 10 белых, 15 чёрных, 20 голубых и 25 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым? чёрным? И ещё: белый или чёрный?
Решение.
Число всех возможных испытаний n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;
Вероятность Р(б) = 10/70 = 1/7, Р(ч) = 15/70 = 3/14.
Применяем теорему сложения вероятностей:
Р(б + ч) = Р(б) + Р(ч) = 1/7 + 3/14 = 5/14.
Примечание: заглавные буквы в скобках соответственно обозначают цвет каждого шара согласно условию задачи.
Пример 3.2В первом ящике два белых и десять чёрных шаров. Во втором ящике восемь белых и четыре чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Определить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение.
Событие А – появление белого шара из первого ящика. Событие В – появление белого шара из второго ящика. События А и В – независимые.
Вероятности Р(А) = 2/12 = 1/6, Р(В) = 8/12 = 2/3.
Применяем теорему умножения вероятностей:
Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 2/18 = 1/9.
Вопросы для повторения
1 Что называется факториалом?
2 Перечислите основные задачи комбинаторики.
3 Что называется перестановками?
4 Что называется перемещениями?
5 Что называется сочетаниями?
6 Какие события называются достоверными?
7 Какие события называются несовместными?
8 Что называется вероятностью события?
9 Что называется условной вероятностью?
10 Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.
11 пр.Размещением из п элементов по к ( к ≤ п) называется любое множество, состоящее из к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.
Таким образом, два размещения из п элементов по к считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения Число размещений из пэлементов по к обозначают Апк и вычисляют по формуле
Апк = 
Если размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то они представляют собой перестановки из п элементов
Пример1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета
Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем
А94 = 
= 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024
Расписание можно составить 3024 способами
Пример2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6 ?
Решение Если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел ( без повторения цифр), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений
22
из 7 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтом из размещений из 7 элементов по3 надо исключить те, у которых первым элементом является 0. Их число равно числу размещений их 6 элементов по 2. =
Значит искомое число трехзначных чисел равно
А73 - А62 = 
- 
= 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.
3. Закрепление полученных знаний в процессе решения задач
№754. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Решение. Число способов равно А43= 
= 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
№755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Т.к.любой из участников может быть как секретарем , так и председателем, то число способов их избрания равно
А302 = 
= 
= 29 ∙ 30 = 870
№762 Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1,3,5,7,9. б) 0,2,4,6,8?
Решение а) А54= 
= 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
б) ) А54- А43= 5! – 4! = 120 – 24= 96
Домашнее задание № 756, №757, № 758, №759.
6урок Тема: « Сочетания»
Цель: Дать понятие о сочетаниях, познакомить с формулой для вычисления сочетаний, научить применять эту формулу для подсчета числа сочетаний.
1 Проверка домашнего задания.
№ 756. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
23
Решение: А74= 
= 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 способов
№757 Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4х100м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение: А124= 
= 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880
№ 758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: А105= 
= 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240
№759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой 20 одноместных столов?
Решение: А206= 
= 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200
Организовать проверку домашнего задания можно разными способами: устно проверить решение домашних упражнений, решения некоторых из них записать на доске, а пока идет запись решений провести опрос уч-ся по вопросам:
1. Что означает запись п!
2.Что называется перестановкой из п элементов?
3.По какой формуле считают число перестановок?
4. Что называют размещением из п элементов по к?
5. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?
2 Объяснение нового материала
Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами а, в, с, д, е. Требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.
Если в букет входит гвоздика а , то можно составить такие букеты:
авс, авд, аве, асд, асе, аде.
Если в букет не входит гвоздика а , но входит гвоздика в , то можно получить такие букеты:
всд, все, вде.
Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика в, то возможен только один вариант составления букета:
сде.
24
Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по – разному сочетаются три гвоздики из 5. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что С53= 10.
Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по к, где к ≤ п.
Выясним сначала , как С53 выражается через А53 и Р3. Мы нашли , что их 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента :
авс, авд, аве, асд, асе, аде, всд, все, вде, сде.
В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из 3 элементов равно Р3. В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3, которые различаится либо самими элементами , либо порядком элементов, т.е. все размещения из 5 элементов по 3. Всего мы получим А53 размещений.
Значит , С53∙ Р3= А53, отсюда С53= А53: Р3
Рассуждая в общем случае получим Спк= Апк : Рк ,
Пользуясь тем, что Апк = 
, где к ≤ п., получим Спк= 
.
Это формула для вычисления числа сочетаний из п элементов по к при любом
к ≤ п.
Пример1. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение : Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит , здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3
С153= 
= (13∙ 14∙15 ) : (1∙ 2 ∙ 3 ) = 455
Приме2 В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Выбрать 3 мальчиков из 12 можно С123, а двух девочек из 10 можно выбрать С102. Т. к. при каждом выборе мальчиков можно С102способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говориться в задаче можно
С123∙ С102= 
∙ 
= 220 ∙ 45 = 9900
3) Закрепление нового материала, в процессе решения задач
25
Задача
У Саши в домашней библиотеке есть 8 исторических романов. Петя хочет взять у него 2 любых романа. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: С82 = 
= (7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56 : 2 = 28
№779 а
В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира команду из 4 человек?
Решение: С164 = 
= (13∙ 14∙15 ∙16 ) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820
№774 Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта спротзала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?
С124 ∙ С52 = 
∙ 
= 495 ∙ 10 = 4950
Домашняя работа №768, №769, № 770, № 775
7урок Тема: « Решение задач на применение формул для подсчета числа перемещений, размещений, сочетаний»
Цель: Закрепление знаний учащихся. Формирование навыков решения простейших комбинаторных задач
1 Проверка домашнего задания
№768 В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение: С72 = 
= (6∙ 7) : 2 = 21
№769 В магазине « Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение: С83 = 
= (6 ∙ 7 ∙ 8) : (1∙ 2 ∙ 3 ) = 56
26
№770 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение: С106 = 
= (7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210
№775 В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
Решение: С103 ∙ С42 = 
∙ 
= 120 ∙ 6 = 720
Вопросы классу
1.Что называется перестановкой из п элементов?
2.По какой формуле считают число перестановок?
3. Что называют размещением из п элементов по к?
4. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?
5. Что называют сочетанием из п элементов по к?
6. По какой формуле считают число сочетаний из п элементов по к?
Задачи для совместного решения
При решении каждой задачи вначале идет обсуждение: какая из трех изученных формул поможет получить ответ и почему
1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 4,6,8,9, при условии , что все цифры разные ?
2. Из 15 человек в группе студентов надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
3. Из 10 лучших учащихся школы два человека надо послать на слет лидеров.
Сколькими способами это можно сделать?
Замечание : В задаче №3 не имеет значения кого выбрать: любых 2 человек из 10, поэтому здесь работает формула для подсчета числа сочетаний.
В задаче №2 выбирают упорядоченную пару ,т.к. в выбранной паре ,если фамилии поменять местами это будет уже другой выбор, поэтому здесь работает формула для подсчета числа размещений
Ответы к задачам для совместного решения:
№1 24 числа . №2 210 способов. №3 45 способов
Задачи для совместного обсуждения и самостоятельных вычислений
№1Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?
(Можно посчитать число сочетаний из 6 по 2)
27
№2 Сколькими способами можно составить расписание для учащихся 1класса на один день , если у них 7 предметов, и в этот день должно быть 4 урока?
( Число размещений из 7 по 4 )
№3 В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по- новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений.
(Надо посчитать число перестановок в множестве с 6 элементами)
№4 К хозяину дома пришли гости А,В,С,Д. За круглым столом – пять разных стульев. Сколько существует способов рассаживания?
( В гости пришли 4 человека + хозяин = 5 человек рассаживаются на 5 стульях, надо посчитать число перестановок)
5. В книжке раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры в разные цвета. Сколько существует способов раскрашивания?
( Посчитайте число размещений из 7 по 3 )
№6 В классе 10 мальчиков и 4 девочки. Надо выбрать 3 человека дежурными так, чтобы среди них было 2 мальчика и 1 девочка. Сколькими способами это можно сделать?
(Число сочетаний из 10 по 2 умножить на число сочетаний из 4 по 1)
Ответы для задач с самостоятельным вычислением
№1 15 рукопожатий
№2 840 способов
№3 720дней
№5 120 способов
№6 180 способов
Домашнее задание №835, №841
8 урок Тема: « Самостоятельная работа»
Цель: Проверка знаний учащихся
1.Проверка домашнего задании
№^ 835 Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр а) 1,2,3,7 . б) 1,2,3,4.
28
Решение
а) Наши числа должны оканчиваться четной цифрой, такая цйфра в условии одна это цифра 2 , поставим ее на последнее место, а оставшиеся 3 цифры будем переставлять, число таких перестановок равно 3! = 6 .Значит можно составить 6 четных чисел
б) рассуждаем как в примере а) поставив на последнее место цифру 2 получим 6 четных чисел, поставив на последнее место цифру 4 получим еще 6 четных чисел,
значит всего 12 четных чисел
№841 Сколькими способами из класса , где учатся 24 учащихся можно выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и его помощника ?
Решение
а) т.к. дежурными могут быть любые 2 человека из 24 , то количество пар равно
С242 = 
= 23 ∙ 24 :2 = 276
б) здесь выдирают упорядоченную пару элементов из 24 элементов , количество таких пар равно А242 = 
= 23 ∙ 24 = 552
Далее предлагается самостоятельная работа
1 вариант решает задания № 1,2,3,4,5.
2 вариант решает задания №6,7,8,9,10.
Решение простейших комбинаторных задач
( по материалам к.р. в апреле 2010 года)
1. Сколькими способами можно расставить на полке пять книг разных авторов?
2.Сколькими способами можно составить полдник из напитка и пирожка, если в меню указаны: чай, кофе, какао и пирожки с яблоком или с вишней?
3.В среду по расписанию в 9 «А» классе должно быть 5 уроков: химия, физика, алгебра, биология и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
4.Имеются 2 белых лошади и 4 гнедых. Сколькими способами можно
составить пару из лошадей разной масти?
5.Каким числом способов можно разложить 5 различных монет в 5 разных карманов?
29
6.В шкафу на полке лежат 3 шапки различных фасонов и 4 шарфа разных цветов. Сколькими способами можно составить набор из одной шапки и одного шарфа?
7.В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами
можно установить очередность выступления участниц финала красоты?
^ 8.Имеются 4 утки и 3 гуся. Сколькими способами можно из них выбрать две разных птицы?
9.Сколькими способами можно разложить 5 разных писем по 5 разным
конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
10.В коробке хранятся 5 красных и 4 зелёных шара. Сколькими способами можно составить пару из шаров разного цвета?
Ответы для заданий самостоятельной работы
| №зад | №1 | №2 | №3 | №4 | №5 | №6 | №7 | №8 | №9 | №10 |
| ответ | 120 | 6 | 120 | 8 | 120 | 12 | 24 | 12 | 120 | 20 |
Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 1285;