Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Приложение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равенплощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

y = x2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вверх на одну единицу (рисунок 1).

 

 

Рисунок 1. График функции y = x2 + 1

 

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

 


Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вниз на одну единицу (рисунок 2).

 

Рисунок 2. График функции y = x2 – 1


Имеем:

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x – x2 и y = 2x – 4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 12 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

Получим 8 + 2x – x2 = 2x – 4 или x2 – 12 = 0, откуда .

Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x2 и y = 2x – 4

 

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x2 = 0 или x2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x1 = 2, x2 = 4.

На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M1N M2), ограниченный данными линиями.

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

Применительно к данному условию, получим интеграл:

 

2 Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси Оy формула имеет вид:

Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси Ох.

Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

 

 

Рисунок 4. График функции y =

 

Искомый объём равен

 


Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси Oy.

Решение. Имеем:

 

Вопросы для повторения

1 Что называется интегрированием функции?

2 Основные свойства неопределённого интеграла.

3 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

4 Основные формулы интегрирования.

5 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

6 Определённый интеграл.

7 Свойства определённого интеграла

8 Формула Ньютона – Лейбница.

9 Геометрический смысл определённого интеграла.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Моделирование и технологии создания психологической безопасности образовательной среды | Судебно-медицинская экспертиза вещественных доказательств биологического происхождения




Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 25307;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.