Возрастающие и убывающие функции

Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими.

Функция y = f(x) называется возрастающейв промежутке а < x < b, если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку, при х1 < х2 имеет место неравенство f(x1) < f(x2).

Функция y = f(x) называется убывающей в промежутке а < x < b, если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку, при х1 < х2 имеет место неравенство f(x1) > f(x2).

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, – промежутками монотонности.

Например, функция при монотонно убывает, а при монотонно возрастает. Функция на всей числовой оси монотонно возрастает.

 

Предел функции в точке

 

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа ε>0 можно указать такое δ>0, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут .

Если число А1 (число А2) есть предел функции y = f(x) при x, стремящемся к a так, что х принимает только значения, меньшие (большие) а, то А12) называется левым (правым) пределом функции f(x) в точке а. При этом соответственно пишут .

1.2 Постоянная величина b называется пределом функции ƒ(x) при x стремящемся к x0 (x→ x0), если для всех x сколь угодно мало отличающихся от x0 соответствующие значения функции ƒ(x) сколь угодно мало отличаются от b. То есть, при x→ x0 , ƒ (x) →b, .

Замечание:

– x может стремится не только к конечному x0 , но и к бесконечности (x → ∞), и к нулю (x→0).

Функция f(x) называется бесконечно малой при , если .

Функция f(x) называется бесконечно большой при , если .

Теоремы о пределах

1 Если функция y= ƒ(x) имеет предел при x→0, то этот предел единственный.

2 Предел постоянной величины равен этой же постоянной , независимо от того, к чему стремится переменная.

, где С= const (1)

3 Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих конечные пределы, равен алгебраической сумме пределов всех слагаемых.

(2)

3 Предел произведения конечного числа функций, имеющих конечные пределы, равен произведению пределов сомножителей.

(3)

4 Предел частного двух функций, имеющих пределы, равен отношению пределов числителя и знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.

, где (4)

 

5 Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, где С= const (5)

 








Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 585;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.