Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

Пусть Е не пустое множество, R- поле действительных чисел,V-трехмерное векторное пространство над полем R. Элементы множества Е будем называть точками. На этой тройке множеств заданы следующие отношения (в виде отображений):

s: Е×Е®V. Вектор s(А,В) обозначим . Пусть дан набор отображений

G = {g}, где g: V×V®R. Множество Е называется трехмерным вещественным евклидовым пространством Е3, если выполнены следующие аксиомы:

Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства

W1 "AÎЕ, " ÎV существует одна и только одна точка Х, т.что = .

W2 "А, В, СÎЕ выполняется равенство + = .

W3 Множество G есть множество положительно определенных билинейных форм, таких, что, если g( , )ÎG, то G = {lg}, lÎR+,т.е. в пространстве V задано положительно определенная билинейная форма с точностью до положительного множителя.

Напомним: положительная определенность означает, что g( , )>0, если ¹ (можно потребовать симметричность) и т.п.

W1, W2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства.

Здесь мы исходим из того, что структура V и структура R нам известны. Поэтому структура Е3 (по Вейлю) определена лишь тремя аксиомами.

Имеет место

Теорема 1 Система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Построим интерпретацию. В качестве V возьмем множество столбцов вида , где а12, а3 - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число определяются естественным образом

+ = , α = , =

Мы знаем, что множество таких столбцов, образуют трехмерное векторное пространство. Множество G определяют так: Рассмотрим билинейную форму g0( , ) = x1y1+x2y2+x3y3 и положим G={lg0}, где l>0. Ясно, что для любых форм g1,g2ÎG имеет место W3: g1=l1g0, g2=l2g0 Þ g1= g2

Т.е. они отличаются лишь постоянным множителем. Теперь самое главное - это множество Е. Точкой назовем любую строку вида (m1,m2,m3), m1,m2,m3ÎR.

(1) s ((m1,m2,m3),(n1,n2,n3)) =

Проверим W1 Пусть А=(а12, а3) произвольная точка, = - вектор. Ясно, что $! Х=(x1,x2,x3): x1 - a1 = p1 , x2 - a2 = p2, x3 - a3 = p3.

W2. Пусть А=(а123), В=(в123) и С=(с123) легко проверить, что + = , расписав все это по (1) в1 - а11 - в1 = с1 - а1.

Мы построили интерпретацию. Значит система аксиом åw- непротиворечива.

Имеет место

Теорема 2 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства - категорична.

( сказать идею)

 

СЛЕДСТВИЕ: Система аксиом Вейля- полна

 

§10 Эквивалентность аксиоматик åW и åH (Вейля и Гильберта)

 

В этом параграфе мы докажем эквивалентность аксиоматик Гильберта и Вейля. Сначала докажем, что в теории Á(W) можно получить все аксиомы åН как теоремы. Но прежде, надо в теории Á(W) построить все основные понятия теории Á(Н). Вообще говоря, мы это уже делали на втором курсе.

Напомним: Пусть Lk, k=1, 2 одномерное или двумерное подпространство векторного пространства V. Введем на множестве всех точек пространства Е3 бинарное отношение D. Пусть А, ВÎЕ, АDВÛ ÎLk. Мы доказывали, что D - отношение эквивалентности элемент , при к=1 называли прямой, а при к=2 называли плоскостью. Lk называли направляющим подпространством прямой или плоскости.

Таким образом, прямая однозначно определяется заданием одной точки и подпространства L1 или, что то же самое, одного вектора из L1. Плоскость однозначно определяется заданием точки и L2 (или его базиса, состоящего из двух линейно независимых векторов , Î L2). Прямую или плоскость с направляющим подпространством L будем обозначать (А, L).

Вспомним, как в Е3, вводится система координат: выберем т. ОÎЕ и базис в V , , ; упорядоченная тройка объектов (О ) – система координат.

По W1 $ А, В, и С: = , = , = . Ясно, что т О, А и В не лежат на одной прямой, т. к. векторы и линейно независимы и не принадлежат одному и тому же одномерному направляющему подпространству. А точки О, А, В и С не лежат в одной плоскости (самостоятельно). Значит I3 и I8 выполняется.

I1 и I2: Через любые две точки А и В проходит единственная прямая.

Док-во. Рассмотрим прямую d: (А, ). Вектор и будет определять L1 ($ доказано I1)

Пусть $d/: (А, L/1) или (В, L/1), но это означает, что Î L/1Þ L1=L1/ и, значит, d и d/ совпадают.

I4 и I5 : Через любые три строчки А,В, и С, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Идея: плоскость s определяется т. А и подпространством L натянутым на и . Пусть s/ проходит через эти же три точки. Но пара точек по W1 определяет единственный вектор в V, т.е. снова приходим к векторам и , а ÞL и L/ совпадают Þ s = s/.

I6: Если точки А и В прямой d лежат в плоскости s, то и все точки прямой d лежат в s (самостоятельно).

I7 (более сильное докажем): Если две плоскости s и s/ имеют общую точку А, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки плоскостей s и s/.

Идея: пусть s = (А,L2), s/ = (А,L/2), но L2 и L2/- различны. DimL2+dimL2/= 4>3, значит не пересекаться они не могут значит dim(L1ÇL2)=1, причем L1ÇL2ÌL1 и L1ÇL2ÌL2.

Все с HI!

У нас уже промелькнули слова о пересечении подпространств. Поэтому докажем в Á(W) HV . Чтобы ввести понятия, участвующие в HV придется потрудиться.

Лемма: Если две прямые лежат в одной плоскости и их направляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются.

Доказательство: Пусть (А, ) и (В, ) прямые лежащие в данной плоскости s. Векторы и - линейно независимы по условию. Значит, образуют базис напр. подпространства L2 плоскости s.Следовательно, =a +b . По W1 $ М и М/ , т. что = a ÎL1( )ÞMÎ(А, ); =(-b) ÎL1( ) ÞM/Î(В, ). Тогда имеем = - Þ = + = / . По W1 М=М/. Значит прямые пересекаются.

Ч.т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ: Кстати только по одной точке, учитывая HI1,2 .

Опр. 1 Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Пусть две различные прямые (А, L1) и (В, L1) имеют одно и то же направляющее подпространство L1. По df прямой это элементы фактор множества , где D определяется подпространством L1. А классы эквивалентности, как известно, не пересекаются.

Кроме того, они, очевидно, лежат в одной плоскости определяемой т. А и векторами и ÎL. Учитывая лемму, получили следующий признак // прямых.

Теорема1. Две различные прямые параллельны тогда и только тогда, когда они имеют общее направляющее подпространство и не имеют общих точек.

HV: Через данную т. А, не лежащую на данной прямой d, проходит одна и только одна прямая, // прямой d .

Доказательство. Существование очевидно, т.к. L- направляющее подпространство d, то прямая (A, L) // d по теореме 1. Единственность: пусть существует еще одна прямая (A, L/) // d. Но тогда по той же теореме1 L = L/ . Значит прямые (A, L) и (A, L/) – совпадают, по определению прямой.

Аналогично можно ввести понятие и доказать соответствующие свойства для // плоскостей.

Перейдем к доказательству HII . Для этого нам понадобится построить в Á(W) отношение лежать между, и убедиться, что оно обладает свойствами HII . Построим так: сначала введем понятие луча, заодно и угла. А потом докажем все HII и введем понятие отрезка.

Поехали: Пусть d- прямая, L1 - ее направляющее подпространство. Рассмотрим множество W= L1\{ } и на этом множестве введем отношение сонаправленности ­­: ­­ Û$l>0: =l

Нетрудно доказать, что это отношение является отношением эквивалентности (сами). Заметим, что состоит из двух элементов. Для доказательства возьмем вектор ÎW и = - . К и К не совпадают. Любой вектор ÎW можно представить виде =m , m¹ . Если m>0, то ÎК ,а если m<0,то =½m½ Þ ÎК .

Опр 3 Каждый из элементов фактор множества будем называть направлением на прямой d. Если векторы и принадлежит противоположным направлениям данной прямой, то будем говорить, что они противоположно направлены: ­¯ .

Таким образом, на каждой прямой имеется только два направления.

ЛЕММА: Если ­­ , то + ­­ и + ­­ .

Доказательство: =l Þl + =(l+1) ­­ ­­ .

Опр 4. Пусть d произвольная прямая, О- некоторая ее точка, а W0- одно из направлений на этой прямой. Множество h всех точек М, т. что ÎW0, называется лучом, исходящим из т.О. Направление W0 называется направлением этого луча.

Поскольку на прямой имеются только два направления, то существует два и только два луча прямой d, исходящие из произвольной точки прямой. Эти лучи называются дополнительными. Ясно, что если h и h/. Дополнительные лучи прямой d, то множество точек прямой {M÷MÎd}=hÈh/ÈО.

Опр 5. Углом называется фигура, состоящая из т. О и двух лучей h и k , исходящих из этой точки. Угол называется развернутым , если h и k- дополнительные лучи.

Опр 6. Будем говорить, что точка М лежит между точкой А и точкой В, если ­­ .

А теперь несложно будет доказать II1, II2 и II3. И даже более сильное утверждение, что из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Теперь докажем аксиому Паша. Но для этого нам понадобятся координаты на плоскости. Ее направляющее подпространство L2 . Если , его базис, то О - система координат на плоскости. М (х, у) Û = х . Далее, если А (х11) и В (х22), то = (х2121). Имеет место хорошо известное вам утверждение.

Утверждение 1 . т. М (х, у) лежит между двумя точками А (х11) и В (х22) тогда и только тогда, когда $l>0, так что

x = , y=

Следствие: $ бесконечное множество точек, лежащих между т. А и В. Т.к. теперь при фикс. х1 и х2 и любом l>0, х и у определены. И только теперь:

Опр 7. Множество, состоящее из двух точек А и В и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком и обозначается АВ или ВА.

Докажем аксиому Паша.

Теорема Паша. Пусть А, В и С- три точки, а d – прямая, лежащая с данными точками в одной плоскости и не проходящая через них. Если прямая d пересекает отрезок АВ, то она пересекает, в точности один из отрезков ВС или АС.

Доказательство: Выберем систему координат О так, чтобы ОÎd и ÎLd1, т. е. //d1.

Пусть в этой системе координат А (х11), В (х22), С (х33). Эти точки не лежат на d, Þ у1¹0, у2¹0, у3¹0. Пусть М (х, у) = dÇAB.

 

$l>0: х = , у = , т.к. MÎd Þ y=0Þy1+ly2=0, понятно, что у1 и у2 имеют разные знаки, а значит либо у1у3 <0, либо у2у3<0. Нетрудно доказать, что в первом случае d пересекает АС, а во втором - ВС (сами), что согласуется с имеющимся у нас понятиями о знаках координат и четвертях.

C HII покончено.

Перейдем к доказательству HIII . Мы введем основные понятия и наброски некоторых доказательств.

Опр 7. Отрезки АВ и СД называется равными (АВ=СД), если для любой билинейной формы gÎG выполняется равенство

(*) g( , )=g( , ).

Замечание 1. Поскольку в G формы связаны соотношением g1=lg2,то если найдется хотя бы одна удовлетворяющая (*), то (*) будет верна и для всех форм из G, т.е. АВ=СД

Замечание2. Т.к. =- , =- , а форма билинейна и положительно определена, то понятия равенства отрезков АВ и СД не зависит от порядка, в котором заданы их концы: g( , )=g(- ,- )=-g( ,- )=g( , )

Нетрудно проверить выполнениеIII1, III2, III3.

III2 очевидна (АВ=А/В/ÙАВ=А//ÞА/В///В//)

III1 Пусть АВ-некоторый отрезок, а h/– произвольный луч, с началом А/. Тогда существует одна и только одна т В/Îh/ , т. что АВ=А/В/

Доказательство: Пусть один из векторов, определяющих направление луча h/, тогда "M/Îh/ $x>0: =x , x>0. Нo =AB Û g( , ) = =g( , )>0 = x2g( , )>0 Þ существует единственное x>0. По W1Þ$! В/: АВ=А/В.

III3. Если А-В-С, А///, АВ=А/В/ и В/С/, то АС=А/С/.Доказывается, используя отношения «лежать между» и положительную определенность формы gÎG.

Опр 8. Ненулевые векторы и называются ортогональными, если они сопряжены относительно любой билинейной формы gÎG, т.е. "gÎG g( , )=0.

Т.к. любые две формы из G связаны соотношением g1=lg2, l>0, то если и сопряжены относительно хотя бы одной формы из G, то они сопряжены относительно любой формы из G и, значит, ортогональны.

Опр 9. Две прямые называется ^, если их подпространства ортогональны. Аналогично прямая d^a: Ld ортогонально La. И можно ввести понятия ^ плоскостей. (Через двугранный угол или через нормали). Заметим, что подпространства двух ^ плоскостей не ортогональны!

Условие аксиомы W3, может показаться странным, там ведь множитель l, что означает выбор l?

Оказывается выбор единичного отрезка, соответствует выбору той или иной формы из G. А введение понятия единичного отрезка уже позволяет в Á(W) построить теорию измерений. Выберем произвольный отрезок АВ и назовем его единичным.

Лемма (важная): Если выбран отрезок АВ, то в множестве G $! ,билинейная форма gÎG: g( , )=1. (Этот отрезок и назовем единичным).

Доказательство. Очевидно: если g/ÎG и g/( , )=m, то форма g= g/ искомая, если же $ еще одна такая форма, то g1=lg=l g/ ( , )=1Þl=1Þg1=g/.

Ч.т.д.

Опр 10. Если АВ - единичный отрезок, то билинейную форму gÎG, т.что g( , )=1 будем называть соответствующей единичному отрезку АВ.

Таким образом, если в Е3 мы выберем единичный отрезок, то векторное пространство V станет евклидовым векторным пространством (одна форма) и в нем вводится скалярное произведение векторов, и норма вектора ÷= . Теперь легко в V ввести понятия единичного вектора, ортонормированного базиса, а в Е3 понятие длины.

Опр 11. Длиной отрезка РQ при выбранном единичном отрезке АВ называется норма вектора : ÷PQ÷= (2).

Имеют место следующие свойства длин отрезков

Свойство 1. Если два отрезка равны, то их длины равны (по формуле (2)).

Свойство 2. Если А-В-С, то êАВê+êВСê=êАСê.

Доказательство. =l , тоêАВê=lêВСê, l>0, т. к. = + , то = (1+l) ÞêАСê=(1+l) êВСê êАС ê=êВСê+lêВСê=êВСê+ êАВê.

Свойство 3. Длина единичного отрезка равна 1.

Свойство 4. " А,В и СÎ Е3 ÷АС÷£÷АВ÷+÷ВС÷, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда А-В-С.

Опр 12. Расстоянием между точками А и В называется длина отрезка АВ. Для доказательства III4 и III5 вводится понятие движения.

Опр 13. Преобразование Е3 называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками.

И тут уже вступает в силу обычная теория движения евклидовых пространств по схеме Вейля, т. Е. Через параллельные переносны и ортогональные матрицы х/ + , где А - ортогональная матрица (АтА=1).

Имеет место

Теорема (о флагах). Пусть (О,h,a) и (О/,h/,a/)- произвольные флаги . Тогда $! Движение, которое флаг (О,h,a) переводит в (О/, h/,a/).

Опр 14. Две фигуры F и F/ называются равными, если $ движение, которое одну фигуру переводит в другую.

Ясно теперь, как ввести равенство углов, это соответствует и равенству отрезков веденному ранее. III4 и III5 понятно ( т.к. полуплоскость в полуплоскости, флаг в флаге ч.т.д.) I

Опр 15. Ðhk=Ðh/k/, если существует движение, которое Ðhk переводит в Ðh/k/ .

III4. Пусть Ðhk- неразвернутый угол, а (О/,h/,a/)- некоторый флаг. Тогда в полуплоскости a/ $! луч k/, исходящая из т.О/, такой, что Ðhk=Ðh/k/.

Доказательство. Пусть О - вершина угла hk, и (O,h,a)-флаг в котором лежит луч k. $! движение f: (О, h, a) ® (О/, h/, a/) и k/=f(k). k/ - искомый.

!: Пусть k//: Ðhk=Ðh/k//Þ$ движение f/ ,такое что f /(h)=h/ и f /(k)=k// , но тогда f/:(O,h,a)®(O/,h/,a/)Þk/=k//.

Вместо III5 докажем более сильное утверждение .

Теорема (Iпризнак равенства треугольников). Если в DАВС и DА/В/С/ АВ=А/В/, АС=А/С/ и ÐА=ÐА/, то DАВС=DА/В/С/.

Доказательство. Т.к. ÐА=ÐА/, то $ движение ¦, т. что [АВ)®[А/В/), а луч АС в луч А/С/. Пусть f(B)=B//, f(C)=C//, тогда АВ=А/В// и по условию АВ=А/В/. В силу III1 и транзитивности В///. Аналогично С///. Следовательно DАВС ® DА/В/С/ Þ DАВС=DА/В/С/.

HIV. Ведем единичный отрезок и понятие числовой оси и т.п. Так как V над R, то можно установить взаимно - однозначное соответствие между R и точками прямой по W1.

А значит будут выполнены аксиомы Архимеда и Кантора.

Таким образом, в теорий Á(W) выполняет все åH

Обратное: Мы говорили о том, что в Á(H) можно ввести координаты, ^, направление, луч, вектор, а, следовательно, будут иметь место все åW.

Итак, мы доказали две важные теоремы:

Теорема I. Системы аксиом åH и åW эквивалентны.

Теорема II. Система аксиом åH непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

P.S. В Ефимове прямо построена аналитическая модель для åH.

 








Дата добавления: 2017-02-20; просмотров: 901;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.058 сек.