Понятие математической структуры

Опр1 Пусть даны некоторые множества М₁,…,М_n . Всякое подмножество DÌМ₁×…×М_n называется отношением определенным на множествах М₁,…,М_n, при этом говорят, что (m₁,m₂,…,m_n ),m_iÎМ_i находится в отношении D, если (m₁,…,m_n)ÎD.

В курсе алгебры вы изучали Бинарные, n-арные, унарные oтношения, операции, если М₁=…=М_n, отображения их вы определили через отношения.

Ясно, что если на множествах М₁,…, М_n рассмотрим два разных подмножества D₁ и D₂,то свойства отношений будут чем-то отличаться и мощность множества всех отношений равна Р (М₁× …×М_n)

Ясно, что если хотя бы одно из множеств М_i бесконечно, то и множество отношений будет бесконечным. Поэтому бессмысленно изучать все отношения существующие на данной системе множеств. Здесь математика идет другим путем, а именно сначала выделяют отношения с наперед заданными свойствами, а за тем изучают множества, на которых они заданы или ищут те множества, на которых эти отношения выполняются.

Возьмем конечную систему различных множеств.E_,F и G пусть их три. Пусть D₁,…,D_к - некоторые отношения на системе множеств Е, F,G. Причем мы их не будем явно фиксировать, а лишь потребуем, чтобы они обладали заданными свойствами.

(1) А₁,…, А_t.

Эту совокупность отношений обозначим s ={D₁,…, D_k}. Может случиться, что таких систем будет не одна, а несколько

ПРИМЕР: D(а,в)=D(в,а) на R, по “*”,”+”.

Обозначим через Т множество всех систем отношений s обладающих свойствами (1).

Опр2 Если Т¹Æ, то говорят, что элемент sÎТ определяет на множествах E, F, G математическую структуру рода Т. Ясно сформулированные свойства А₁,…,А_t, определяющие множество Т называется аксиомами структур рода Т, а множества E,F,G- базой структур рода Т.

ЗАМЕЧАНИЕ 1:Всем структурам одного и того же рода дается специальное название: структура группы, структура векторного пространства, структура евклидова пространства, структура кольца.

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Если база состоит из нескольких множеств, то иногда одно из них играет основную роль, а остальные вспомогательную в определенных структурах, тогда говорят, что эти структуры определены на множестве Е., Например: Е, V_n+1, поле K- модель проективной плоскости над полем К или векторное пространство над полем К (о векторном пространстве).

ПРИМЕР 1: Структура группы: База 1- множество, 1-отношение, уд-ее 4 аксиомам.

ПРИМЕР 2: Структура евклидова пространства по Гильберту (отношения: инцидентность, порядок, равенства,……….).

ПРИМЕР 3: Структура Афф. Пространства по Вейлю.

ПРИМЕР 4: Евклидово пространство над векторным пространством V.

Систему аксиом будем обозначать å

Опр3 Теория структур рода Т-это множество Á(å) предложений (теорем), каждое из которых выводимо из аксиом системы å, определяющих структуру рода Т.

Математика занимается построением теорий структур заданного рода Т. Метод - аксиоматический.