Плоскость a, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I5 Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I6 Если две точки А и В прямой лежат в плоскости a, то каждая точка прямой а лежит в плоскости a. (В этом случае будем говорить, прямая а лежит в плоскости a или что плоскостьa проходит через прямую а.

I7 Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I8 Существует, по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

 

Уже из этих 8 аксиом можно вывести несколько теорем элементарной геометрий, которые наглядно очевидны и, поэтому, в школьном курсе геометрии не доказываются и даже иногда из логических соображений включаются в аксиомы того или иного школьного курса

Например:

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей

Доказательство: (для понта):

По I7 $ В, которая тоже принадлежит a и b,т.к. А,В ' a, то по I6 АВ 'b. Значит прямая АВ является общий для двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

ЗАМЕЧАНИЕ: С помощью этих аксиом можно доказать немного теорем и большинство из них вот такие простые. В частности из этих аксиом нельзя доказать, что множество геометрических элементов бесконечно.

ГРУППА II Аксиомы порядка.

Если на прямой даны три точки, то одна из них может находиться к двум другим в отношении «лежать между», которое удовлетворяет следующим аксиомам:

II1 Если В лежит между А и С, то А,В, С- различные точки одной прямой и В лежит между С и А.

II2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что В лежит между А и С.

II3 Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими

По Гильберту над отрезком АВ(ВА) понимается пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка лежащая между точками А и В называется внутренней точкой отрезка АВ(ВА).

ЗАМЕЧАНИЕ: Но из II1-II3 пока не следует, что у всякого отрезка есть внутренние точки, но из II2,Þ что у отрезка есть внешние точки.

II4 (аксиома Паша) Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, а - прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А,В,С. Тогда если прямая, а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.

Сл.1: Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка D на прямой АС, лежащая между А и С.

Док-во: I3Þ$ т.Е не лежащая на прямой АС

Ч Е Р Т Е Ж  

 

,II2Þ$F, что А-Е-F,II2Þ$G:F-C-G. т.GÏFC. По II4 прямая ЕG должна пересечь либо АС либо FС, но FС, она не пересекает, значит АСÞD лежит между А и С. ч.т.д.

F
Сл.2. Если С лежит на отрезке АД и В между А и С, то В лежит между А и Д, а С между В и Д.

Теперь можно доказать два утверждения

Сл3Утверждение II4 имеет место и в случае, если точки А, В и С лежат на одной прямой.

И самое интересное.

Сл.4. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечное множество других ее точек (самост.).

Однако нельзя установить, что множество точек прямой несчетное.

Аксиомы I и II групп позволяют ввести такие важные понятия как полуплоскость, луч, полупространство и угол. Сначала докажем теорему.

Тh1. Прямая а, лежащая в плоскости a, разделяет множество точек этой плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что если т. А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.

Идея: вводится отношение, а именно, т. А и В Ïа находятся в отношенииΔ, если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а или эти точки совпадают. Затем рассматривалися множества классов эквивалентности по отношению Δ. Доказывается, что их только два при помощи несложных рассуждений.

Опр1 Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой называется полуплоскостью с границай а.

Аналогично можно ввести понятия луча и полупространства.

Луч-h, а прямая- .

Опр2 Угол - это пара лучей h и k, исходящих из одной т. О и не лежащих на одной прямой. т.О называется вершиной угла, а лучи h и k сторонами угла. Обозначаем обычным образом: Ðhk.

Точка M называется внутренней точкой угла hk, если точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей и точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей . Множество всех внутренних точек называется внутренней областью угла.

Внешняя область угла - бесконечное множество, т.к. все точки отрезка с концами на разных сторонах угла являются внутренними. Следующее свойство из методических соображений часто включают в аксиомы.

Свойство: Если луч исходит из вершины угла и проходит хотя бы через одну внутреннюю точку этого угла, то он пересекает любой отрезок с концами на разных сторонах угла. (Самост.)

ГРУППА III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)

На множестве отрезков и углов вводится отношение конгруэнтности или равенства (обозначается “=”), удовлетворяющее аксиомам:

III1 Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из т. А/, то $ т.В/, принадлежащая данному лучу, т. что АВ=А/В/.

III2 Если А/В/=АВ и А//В//=АВ, то А/В///В//.

III3 Пусть А-В-С, А///, АВ=А/В/ и ВС=В/С/, тогда АС=А/С/

Опр3 Если О/ - точка,.h/-луч, исходящий из этой точки, а l/-полуплоскость с границей , то тройка объектов О/,h/ и l/ называется флагом (О/,h/,l/ ).

III4 Пусть даны Ðhk и флаг (О/,h/,l/ ). Тогда в полуплоскости l/ существует единственный луч k/, исходящий из точки О/, такой что Ðhk = Ðh/k/.

III5 Пусть А,В и С - три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ=А/В/, АС=А/С/, ÐВ/А/С/ = ÐВАС, то ÐАВС = ÐА/В/С/ .

1. Точка В/ в III1 единственная на данном луче (самост.)

2. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

3. В равнобедренном треугольнике углы при оснований равны. (По III5).

4. Признаки равенства треугольников.

5. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов. (Доклад)

6. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.

7. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

8. Любой отрезок имеет одну и только одну середину

9. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису

Можно ввести следующие понятия:

Опр4 Угол равный своему смежному называется прямым.

Можно определить вертикальные углы, перпендикуляр и наклонные и т.д

Можно доказать единственность ^. Можно ввести понятия > и < для отрезков и углов:

Опр5 Если даны отрезки АВ и А/В/ и $ т.С, т. что А/-С-В/ и А/С=АВ, то А/В/>АВ.

Опр6 Если даны два угла Ðhk и Ðh/k/, и если через внутреннюю область Ðhk и его вершину можно провести луч l такой, что Ðh/k/ = Ðhl, то Ðhk > Ðh/k/.

И самое интересное, это, то что при помощи аксиом групп I-III можно ввести понятие движения(наложения).

Делается это примерно так:

Пусть даны два множества точек p и p/.Предположим, что между точками этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие. Каждая пара точек М и N множества p определяет отрезок МN. Ппусть М/ и N/ точки множества p/, соответствующие точкам МN. Отрезок М/N/ условимся называть соответствующим отрезку МN.

Опр7 Если $ соответствие между p и p/ такое, что соответствующие отрезки всегда оказывается взаимно конгруэнтными, то и множестваp и p/ называется конгруэнтными. При этом говорят также, что каждое из множеств p и p/ получено движением из другого или, что одно из этих множеств может быть наложено на другое. Соответствующие точки множества p и p/ называется совмещающимся при наложении.

Далее развивается теория наложений. Например, имеют место

Утв1: Точки лежащие на прямой, при движении переходят в точки, также лежащие на некоторой прямой.

Утв2 Угол, между двумя отрезками, соединяющими какую-нибудь точку множества с двумя другими его точками, конгруэнтен углу между соответствующими отрезками конгруэнтного множества.

Можно ввести понятие вращения, сдвига , композиции движений и т.д

ГРУППА IV. Аксиомы непрерывности.

IV1 (Аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А1, А2, …, Аn, таких что выполняются условия:

1. А-А12, А123, …, An-2-An-1-An

2. AA1 = A1A2 = … = An-1An = CD

3. A-B-An

IV2 (Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А1В1, А2В2,… из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка СD найдется натуральное число n, такое, что АnВn < СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Из условия аксиомы Кантора сразу следует, что такая т.M единственная, т. к. если это не так, и сущ. еще одна т.N, то отрезок МN<AnBn "n, что противоречит условию аксиомы.

Можно доказать, что аксиомы I-III и IV1,IV2 эквивалентны следущему предложению Дедекинда.

Теорема Дедекинда Пусть дано разбиение точек отрезка [АВ] на два класса К1 и К2, те К1 È К2 = [АВ], К1ÇК2=Æ, удовлетворяющее двум условиям:

a) АÎК1, ВÎК2 и классы К1 и К2 содержат точки, отличные от точек А и В.

b) Любая точка класса К1, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса К2

Тогда $ т.М0 отрезка [АВ],такая, что любая точка, лежащая между А и М0, принадлежит классу К1, а любая точка между М0 и В- классу К2.

Разбиение отрезка [АВ] на классы К1, К2 удовлетворяющее условиям а)-в), называется дедекиндовым сечением. Можно доказать, что точка М0, производящая сечение единственна.

На основании аксиом I-IV групп можно построить теорию измерения отрезков и углов. Даже можно доказать, что $ биекция. множества точек прямой на множество R вещественных чисел, сохраняется порядок. А вот теорию площадей и объемов построить нельзя, т.к. понадобился Аксиома параллельности.

ГРУППА V. Аксиома параллельности .

V. Пусть а - произвольная прямая, а А- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

На основании I-V можно построить теорию параллельности, подобия и т.д. обосновать тригонометрию, ввести координаты, показать, что прямая на плоскости (определение уравнение первой степени и т.д.)

ЗАМЕЧАНИЕ: V* Пусть а- произвольная прямая, А- точка не лежащая на одной прямой.Тогда в плоскости, определенной т.А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через А и не пересекающих а.

Группа I-IVÈV*-строится геометрия Лобачевского.

Как же так получается, что, заменив лишь одну аксиому, мы получили совсем другую геометрию? Здесь придется затронуть сами основы математики и правила построения математических теорий.

 








Дата добавления: 2017-02-20; просмотров: 2158;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.022 сек.