Система аксиом Гильберта

Начала” Евклида

К концу III века до нашей эры греки накопили большой запас геометрических фактов, и многие из них умели доказывать, интуитивно пользуясь какими-то известными из жизни первоначальными понятиями. Конечно, же, были попытки собрать эти факты воедино. Изложение начал геометрии предпринималось многими геометрами (Гиппократ, Фидий), но эти сочинения до нас не дошли. Но иногда ссылки встречаются. По- видимому, они были забыты после появления знаменитых “Начал” Евклида.

Евклид один из великих геометров древности, жил приблизительно 330-275 года до нашей эры в Египте, Александрии. Его “Начала” дают систематическое изложение основ геометрии. Многие века геометрия преподавалась именно по этому сочинению.

“Начала” состоит из 13 книг (глав). Первые 6 книг содержат изложение планиметрии: I- содержит условия равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольников, теорию параллельных линий и условия равновеликости треугольников и многоугольников. Во II - в геометрической форме даны основные геометрические тождества, в частности дается превращение многоугольника в равновеликий квадрат. III-посвящена окружности; IV- рассматривает вписанные и описанные многоугольники. V-теория отношений.VI-теория подобия. XI-XIII-посвящены основам стереометрии, XIII-правильным многогранникам.

Многое из того, что было известно геометрам во времена Евклида в «Начала» не вошло (например, линии второго порядка). Каждая книга начинается с определения тех понятий, которыми ему приходится оперировать. Первой книге предпосланы 23 определения. Мы приведем первые восемь из них:

ОПРЕДЕЛЕ

О I точка есть то, что не имеет частей

О II линия есть длина без ширины

О III границы линий суть точки

О IV прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

О V поверхность есть то, что имеет только длину и ширин

О VI границы поверхности суть линий.

О VII плоскость есть поверхность, которая одинаково расположено по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

О VIII плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

ПОСТУЛАТЫ.

I. Требуется, чтобы от каждой точки по всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

АКСИОМЫ:

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

А затем Евклид излагает теоремы геометрии. Так, чтобы каждое следущее предложение можно было бы логическим путем вывести из предыдущего

Задача обоснования геометрии ясно поставлена Евклидом в его “Началах” и решена им с той степенью точности, какая была доступна античной древности. Более того, на протяжении многих веков, строгость евклидовых доказательств неизменно признавалось образцом для подражания.

Но с точки зрения современной математики приходится согласиться с тем, что оно во многих отношениях неудовлетворительно.

Расcмотрим несколько замечаний. Во-первых, не ясны определения, например - прямой. В них использованы понятия: длина, ширина, границы, которые сами должны быть определены. Нет понятия “лежать между”, не определено движение, хотя в аксиоме VII используется.

Нам интересна такая теорема: внешний угол треугольника больше каждого из внутренних с ним несмежных.

В

В А¢

Оо

А С С¢

Ч.т.д.

То, что СА¢ лежит внутри угла ВСС¢ опирается на наглядность чертежа. Так же необоснованным является понятие равенства треугольников, т.к. не определено движение.

Некоторые недостатки были замечены еще Архимедом и, чтобы обосновать метрическую геометрию как теорию измерения, он ввел еще пять постулатов:

V. Из двух неравных линий, двух неравных поверхностей или двух неравных тел, большая окажется меньше той величины, котрую мы получим, если повторим меньшую надлежащее число раз. Или, в современнои аксиомой Архимеда:"а,в,а<в,$ целое n: na>в этот постулат лежит в основе измерения геометрических величин.

А IV постулат Евклида является лишним, т.к. может быть доказан как теорема.

Конечно, многие ученые на протяжении веков ощущали недостатки Евклида «в связи» с развитием физики и вообще науки. Но очень немногие пытались пополнить его систему аксиом. Подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии пошло не по прямому пути логического уточнения аксиоматики, а осуществлялось причудливым образом через длинный ряд попыток исправить Евклида там, где он был абсолютно прав. Речь идет об истории V постулата. Его история не просто поучительна. А именно, осознав его независимость от остальных аксиом, человечество пришло к выводу о существовании разных аксиоматических теорий.

V Постулат Евклида

Во-первых, сразу бросается в глаза его сложность. Это-то и послужило поводом для многочисленных попыток доказать его как теорему. Евклид, видимо, сам понимал необъяснимость V постулата и поэтому первые 28 предложений «Начал» доказаны без него. Без V постулата доказывается теорема о равенстве треугольников, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Под параллельными прямыми Евклид понимает следующее: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Из этого сразу следует, что

если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые не пересекаются (от противного).

С ее помощью доказываются так же утверждения эквивалентные V постулату.

I. Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая \\ данной.

II. Две параллельные прямые при пересечений их третьей прямой образуют равные соответственные углы.

III. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым.

IV. Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой и на одном и том же расстоянии, образуют прямую.

V. Расстояния от точки одной из двух параллельных прямых до второй ограничены в своей совокупности.

VI. Существует треугольники с произвольно большой площадью.

VII. Существует подобные, но не равные треугольники.

Эквивалентность 1 и 3 V постулату доказана в книге Атанасяна и Базылева. Из многочисленных сочинений, посвященных V постулату, следует сказать о работах Саккери, Ламберта и Лежандра. Подробно об их работах написано в Ефимов Н.В. «Высшая геометрия». Все они пытались доказать V постулат. От этих работ остались две теоремы Саккери-Лежандра.

Тh.1. Сумма углов любого треугольника не больше 2d (доказательство самостоятельно).

Тh.2. Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d.

ß

VÛ8. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d.

И лишь в начале XIX века путь к решению этой проблемы был начат Николаем Ивановичем Лобачевским 20/II 1826г. Он делал доклад на физико-математическом факультете Казанского университета. «Рассуждения о принципах геометрии». Здесь была попытка построить геометрию без V постулата и Лобачевский не пришел ни к какому противоречию.

В Венгрии Янош Бояйи (1832) и знал Гаусс.

Если во времена Евклида уровня абстракции вполне хватало, для научных нужд того времени, то в связи с работами Гаусса, Лобачевского и Римана, такой уровень перестал устраивать математиков, да и физиков тоже. В конце 60-ых годов перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию.

Паш, Пеано, Пиери, Гильберт и Вейль.

О значений неевклидовой геометрии в вопросах обоснования геометрий:

Если геометрию брать, как учение о протяженности реального мира, то оказывается, что математика может предложить для нее на выбор разнообразные схемы. Выбор наилучшей из этих схем должен быть решен путем физического опыта, и в этом смысле геометрия становится подлинной частью физики.

Система аксиом Гильберта

Излагаемая ниже система аксиом несколько отличается от предложенной Гильбертом, но так уже принято в учебной литературе. Пусть даны три различных множества. Элементы первого назовем точками и будем обозначать A, В, С,…Элементы второго назовем прямыми и будем обозначать а, в, с,…Элементы третьего множества назовем плоскостями и обозначим a,b,g,…Элементы этих множеств находится в определенных отношениях, т.е. элементам одного из этих множеств поставлены в соответствие элементы других множеств. Эти отношения называют (по-привычке) “принадлежность”,”лежать на”,“проходитьчерез”,“лежать между”, ”конгружность”, “равенство”. Эти отношения должны удовлетворить определенным аксиомам. В данном случае аксиомам Гильберта. Список Гильберта содержит 20 аксиом, котрые разбиты на 5 групп:

I. (8 штук) Аксиомы инцидентности (принадлежности, связи).

II. (4 штуки) Аксиомы порядка

III. (5 штук) Аксиомы конгруэнтности

IV. (2) Аксиомы непрерывности

V. (1) Аксиома параллельности

Геометрию построенную на аксиомах I-IV групп, называют абсолютной

геометрией.

ГРУППА I Аксиомы принадлежности (связи)

I₁ Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через эти точки. (им инцидентная)

I₂ Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃ На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки не лежащие на одной прямой.

I₄ Каковы бы ни были три точки А,В,С, не лежащих на одной прямой существует