Розподіли та з ступенями вільності
ДЕЯКІ РОЗПОДІЛИ, ЯКІ ЗАСТОСОВУЮТЬ В МАТЕМАТИЧНІЙ СТАТИСТИЦІ
В цій лекції розглядається декілька законів розподілу, які складають необхідний апарат для побудови статистичних критеріїв та оцінок, що застосовуються, перш за все, в математичній статистиці.
Гамма-розподіл
Означення 23.1. Невід’ємна випадкова величина має гамма-розподіл з параметрами та , якщо її щільність розподілу дорівнює
де – гамма-функція.
Окремим випадком гамма-розподілу є показниковий розподіл, для якого , . Дійсно, при таких параметрах
, .
Знайдемо початкові моменти гамма-розподілу.
.
При маємо математичне сподівання випадкової величини
.
Другий початковий момент буде таким:
.
Отже, дисперсія гамма-розподілу дорівнює
.
Приклад 23.1. Скласти композицію двох випадкових величин та , розподілені за гамма-розподілом із параметрами та .
Розв’язання. За формулою (21.3)
.
В останньому інтегралі зробимо заміну , тоді
.
Оскільки
, то при
,
тобто також гамма-розподіл з параметрами .
Розподіли та з ступенями вільності
(розподіл Пірсона)
Розглянемо випадковий вектор , компоненти якого є незалежними, нормально розподіленими випадковими величинами з параметрами .
Означення 23.2. Закон розподілу випадкової величини називається розподілом “хі з ступенями вільності”.
Знайдемо функцію та щільність розподілу цієї випадкової величини. Щільність розподілу випадкових величин має вигляд
.
Функція розподілу випадкової величини за означенням дорівнює
Знайдемо вираз для :
,
де .
Введемо заміну . Тоді
.
Застосуємо узагальнені сферичні координати:
;
;
...........
.
Тоді . Якобіан перетворення дорівнює
.
Область, по якій треба інтегрувати, симетрична відносно початку координат, а підінтегральна функція парна відносно кожної змінної. Отже, достатньо обчислити цей інтеграл тільки по тій частині області, де , а результат помножити на відповідне число, яке навіть нема необхідності знати, тобто
де – деяка константа. Обчислимо її, враховуючи, що
. Маємо . Отже,
.
Введемо заміну змінних
.
Остаточно функція розподілу має вигляд
при .
Запишемо щільність розподілу випадкової величини :
Розглянемо ще одну випадкову величину вигляду і знайдемо її закон розподілу.
.
Отже,
Означення 23.3. Закон розподілу випадкової величини називається розподілом “хі-квадрат з ступенями вільності” ( або розподілом Пірсона).
Із результатів лекції 20 випливає, що щільності розподілів та пов’язані співвідношенням , .
Таким чином,
Із вигляду щільності розподілу видно, що розподіл є окремим випадком гамма-розподілу з параметрами та . Отже, числові характеристики розподілу знайдемо з числових характеристик гамма-розподілу:
, .
Розподіл Стьюдента
Означення 23.3.Закон розподілу випадкової величини , де величина має нормальний розподіл , величина має розподіл “хі з ступенями вільності” та обидві вони незалежні називається розподілом Стьюдентаз ступенями вільності” (або -розподілом).
Для знаходження щільності розподілу Стьюдента використаємо формулу (21.2) та умову незалежності випадкових величин:
Зробимо заміну змінних
.
Тоді щільність розподілу закону Стьюдента набуває вигляду
при .
При розподіл Стьюдента стає розподілом Коші
.
Оскільки щільність розподілу Стьюдента є парна функція, то всі його початкові моменти непарного порядку дорівнюють нулю, отже, . Знайдемо значення для моментів парного порядку.
,
де – бета-функція, яка визначається так: , , . Як відомо, бета-функція зв’язана з гамма-функцією співвідношенням , отже, парні моменти можна записати так:
.
Покладемо в цій формулі , отримаємо
.
При розподіл Стьюдента стає розподілом Коші. А при достатньо великих , розподіл Стьюдента набуває значень близьких до нормального розподілу .
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Зв’язок між характеристичною функцією цілочислових дискретних випадкових величин та генератрисою | | | Види збіжностей послідовності випадкових величин |
Дата добавления: 2017-02-20; просмотров: 367;