Математические основы анализа переходных процессов

При анализе переходных процессов в электрических цепях считается, что:

1. рубильники включаются и размыкаются мгновенно, без возникновения электрической дуги;

2. время переходного процесса, теоретически бесконечно длительное, ограничивают условным пределом – длительностью переходного процесса;

3. установившийся режим после коммутации рассчитывают при теоретическом условии t→∞, т.е. когда после коммутации прошло бесконечно большое время.

Установившийся режим до коммутации рассчитывают обычно в предположении, что к моменту коммутации в цепи закончился предыдущий переходный процесс.

Пусть в некоторой цепи внезапно изменяется сопротивление. До коммутации в цепи существовали сопротивления R₀ и R, после коммутации остается только R. Требуется определить переходный ток i. Электрическое состояние схемы после коммутации описывается уравнением, записанным на основании II закона Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений: (*)

Если это уравнение продифференцировать по времени получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, у которого в качестве постоянных коэффициентов выступают параметры цепи или их комбинации: (**)

В правой части дифференциальных уравнений, описывающих электрическое состояние цепей, обычно находится напряжение (или ток) источника (внешняя вынуждающая сила), то частное решение находят из анализа установившегося режима после коммутации. Отсюда этот режим называют принужденным и соответственно токи или напряжения, найденные в данном режиме, называют принужденными. Расчет принужденного режима, когда внешние источники вырабатывают постоянную или синусоидальную э.д.с. (ток), не представляет трудностей и может быть осуществлен любым известным методом.

Однородное дифференциальное уравнение получают из выражения (**) путем "освобождения" его от правой части. Физически это означает, что исследуемая цепь "освобождается" от внешней вынуждающей силы. Токи или напряжения, найденные при решении однородного дифференциального уравнения, называются свободными. Свободные токи и напряжения являются результатом действия внутренних источников схемы: э.д.с. самоиндукции, возникающих в катушках, и напряжений на конденсаторах, когда и те, и другие не уравновешены внешними источниками.

Схематически анализ переходного процесса может быть представлен как результат наложения двух режимов: принужденного и свободного. Переходный ток в соответствии с принципом суперпозиции равен сумме установившегося и свободного токов:i = i_у + i_св.

Существуют различные методы решения однородного дифференциального уравнения, полученного из выражения (**): (***)

Классический метод анализа переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений. Решение находят в виде суммы экспонент: i_св = A₁ · e^p₁^t + A₂ · e^p₂^t, (****)где число слагаемых равно порядку дифференциального уравнения.

После подстановки экспонент A_k · e^p_k^t в исходное уравнение (***) и дифференцирования можно получить характеристическое уравнение, из которого определяют корни p₁, p₂. Постоянные интегрирования A₁, A₂ находят из начальных условий, которые определяют с помощью законов коммутации.

Различают независимые и зависимые (после коммутационные) начальные условия. К первым относят значения токов через индуктивности и значения напряжений на емкостях, известные из до коммутационного режима работы цепи.

Значения остальных токов и напряжений при t = 0 в после коммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа для схемы после коммутации, называют зависимыми начальными значениями.

Классический метод анализа применяют обычно для анализа процессов в несложных электрических цепях.

Существует также операторный метод расчета переходных процессов. В данном методе производится переход через прямое преобразование Лапласа от функций, зависящих по времени, к их изображениям зависящих от дифференциального оператора p, что значительно упрощает анализ переходных процессов в сложных цепях.

2.8 Операторный метод расчета переходных процессов.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной p=s+jω , которую называют изображением.В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или

.

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал	А
Изображение