Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

(9)

Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала:

(10)

Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Второй замечательный предел:

(11)

или

(12)

Если при , то обобщением формулы (11) является формула:

(13)

Если , то обобщением формулы (12) является:

(14)

Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Для того чтобы использовать, например, формулу (13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчёркиванием):

1) 2)

3) 4)

5) , при .

Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.

Пример 1. Вычислить предел функции:

1) 2)

3) 4)

Решение.1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

.

Последний предел, согласно формуле (9), равен 1.

Так как при выражение также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим:

Следовательно .

2. При непосредственном вычислении предела получаем неопределённость вида

Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10)):

3. Выделим целую часть в основании степени:

Так как при исходное выражение представляет собой неопределенность типа , то, используя второй замечательный предел (формула (13)), имеем:

4. В данном случае получаем неопределённость вида . Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (14)). Получим:

Для вычисления применим первый замечательный предел:

Таким образом, получаем ответ: