Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков

Рассмотрим поле оси, расположенной на расстоянии h от границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями e₁ и e₂ (рис.2.11а15а).

Вследствие разной поляризации диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влияющие на поле в обеих средах. Поле создается свободным зарядом , а также поверхностным связанным зарядом на границе раздела двух сред (рис.2.115б). Распределение связанных зарядов неизвестно.

В случае плоских, сферических и цилиндрических границ задача расчёта поля в кусочно-однородной среде решается методом зеркальных изображений.

Математическим обоснованием метода изображений является следствие теорема единственности решения.

Электростатическое поле по одну сторону некоторой поверхности S не изме­нится, если по другую сторону поверхности изменить параметры среды (например, заменить поводящую среду диэлектриком) и изменить расположение свободных зарядов так, чтобы на этой поверхности сохранились прежние граничные условия.

а) б)

Рис.2.15. К методу зеркальных изображений1

В случае плоских, сферических и цилиндрических границ задача расчёта поля в кусочно-однородной среде решается методом зеркальных изображений.

Математическим обоснованием метода изображений является следствие теорема единственности решения.

Электростатическое поле по одну сторону некоторой поверхности S не изме­нится, если по другую сторону поверхности изменить параметры среды (например, заменить поводящую среду диэлектриком) и изменить расположение свободных зарядов так, чтобы на этой поверхности сохранились прежние граничные условия.

Согласно этому методу вместо расчёта поля в неоднородной среде решают две эквивалентные задачи расчёта поля в однородных средах: первой и второй.

Расчёт поля в верхней части пространства ведется от двух зарядов: реального t₁ и фиктивного t₂, расположенных симметрично относительно границы раздела (рис.2.162а). Среда всюду имеет диэлектрическую проницаемость e₁.

Расчёт поля в нижней части пронстранства ведется от заряда t₃, расположенного в той же точке, что и t₁ (рис.2.12б16б). Среда при этом всюду имеет проницаемость e₂.

а) б)

Рис.2.1216

Величины и знаки зарядов и определяются из требования неизменности граничных условий в исходной и эквивалентных задачах.

Граничные условия реальной задачи:

В расчётной модели:

или .

Осюда получаем

; ,

Если относительную диэлектрическую проницаемость устремить к бесконечности (вторая среда — проводник), то получим все соотношения для расчёта поля заряженной оси, расположенной над проводящей плоскостью. При этом с учетом имеем

.

В нижней полуплоскости поле равно нулю (проводнике).