Элементы небесной механики.

Основанием для установления закона всемирного тя­готения Ньютону послужили три открытых Кеплером за­кона движения планет:

Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты описывает за равные вре­мена одинаковые площади.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральных сил. Рассмотрим движение частицы в центральном поле сил. Центральная сила имеет вид:

Поскольку эта сила консервативна, то можно ввести потенциальную энергию:

При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:

Тогда из уравнения моментов получаем, что L есть постоянная величина. При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.

рис. .8.9

Так как вектор L = const, т.е. его величина и его направление сохраняются, и вектор L перпендикулярен к векторам rи р, то, следовательно, движение частицы происходит в плоскости перпендикулярной к L . Имеем плоскую орбиту.

Если направим ось z по вектору L, то L = L_z и траектория лежит в плоскости, перпендикулярной оси z. Тогда

Геометрическая интерпретация. Найдем площадь сектора ОАВ (рис. 5.5):

Здесь a - угол между радиусом r = (ОВ) и (АВ) = vdt (в пределе - касательной). Тогда:

рис. 8.10

Введем понятие секториальной скорости, как площади, описываемой радиусом-вектором за единицу времени:

Таким образом, получаем 2-ой закон Кеплера, гласящий, что секториальная скорость постоянна при движении в центральном поле:

Космические скорости. Рассмотреть самостоятельно. Источник: Детлаф Яворский 2002 год Глава 5. С 71-74.