Свободные оси. Главные моменты инерции.

Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют 3 взаимно перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела, оси, которые могут служить свободными осями. Это такие оси, положение которых в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил. Иначе говоря, для сохранения вращения не нужно прикладывать внешние силы. Это такие оси, при вращении вокруг которых направление вектора L совпадает с направлением вектора w. Три такие оси называются главными осями инерции тела, а моменты инерции относительно их называются главными моментами инерции.

a) б) в) г)

Рис. 7.6. Иллюстрация главных осей инерции.

Вращение вокруг осей, соответствующее максимальным и минимальным значениям момента инерции, является устойчивым, а вокруг других - неустойчивым. Пример: вращения коробка спичек.

При внешнем воздействии наиболее устойчиво то вращение, которое соответствует максимальному значению главного момента инерции.

Пример: при вращении диска, закрепленного за край с помощью нити (см рис7.6 г), он выстраивается так, чтобы ось вращения проходила через ось симметрии, относительно которой имеется максимальный момент инерции.

Для вращения вокруг главных осей инерции (х, y, z) можно записать

Однако, если вращение происходит вокруг произвольных осей (x,y, z), то связь между компонентами становится более сложной:

или:

- тензор инерции.

Тензор инерции характеризует инертные свойства тела при вращении.

Найдем выражение для тензора инерции. Запишем момент импульса для элемента массы:

где вектор r_i откладываем от центра масс. Двойное векторное произведение раскладываем по известному правилу векторной алгебры (легко проверить, расписывая векторные произведения):

Найдем проекцию на ось х

Откуда, рассматривая аналогично другие проекции, получаем тензор момента инерции в виде:

.

Тензор симметричный: Тензор и его компоненты вычисляются с помощью интегрирования, так, например:

Если в качестве координатных осей взять главные оси инерции, то тензор становится диагональным:

Теорема Штейнера:

(7.5)