Распределение Максвелла

Функцию распределения

можно представить в виде:

(8)

где , и - функции распределения значений соответствующих проекций скорости , и , причем вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.

Рис. 1.Пространство скоростей

Прологарифмируем выражение (8):

, (9)

где – скорость частицы.

Для решения выражение (9) представим в виде:

, , (10)

где a и β – некоторые постоянные.

Соответственно, функция распределения: .

Функции и аналогичны. Здесь константы a и β можно определить, исходя из условия нормировки и значения среднего квадрата скорости хаотического движения молекул газа.

Коэффициенты примут вид:

, , то есть. (11)

Таким образом, функция распределения значений проекции скорости v_х приобретает форму:

, (12)

а функция распределения молекул по скоростям, соответственно, вид

. (13)

или

(14)

Качественно вид функции (14) совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.

Рис. 2.

Вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей :

(15)

Или

(16)

Функция

(17)

или

(18)

называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до .