Основная тригонометрическая система

Рассмотрим на отрезке такую систему функций:

Рассмотрим подробнее, какие у них периоды. Известно, что при умножении на коэффициент частота увеличивается, а соответственно период уменьшается.

Если имеет период , то имеет период ,

имеет период , то есть как раз совершает одно колебание на

. Впрочем, можно было бы рассматривать и на .

имеет период , то есть для двух первых тригонометрических функций (не считая константы, конечно) на этом промежутке укладывается ровно одна волна, а для последующих - кратное число колебаний.

Докажем её ортогональность.

Константа ортогональна любой из функций этой системы, так как

в интегралах и интегрируется функция, у которой целое количество периодов на данном отрезке, и такой интеграл равен 0.

Ортогональность всех остальных функций доказывается по формулам тригонометрии:

.

= =

но так как (мы же взяли разные функции из системы) то будет то есть разность интегралов, каждый из которых 0 в силу того, что там периодическая функция, у которой на промежутке укладывается целое число полных периодов.

Для двух косинусов аналогично: = = = 0.

Для синуса и косинуса = =

= 0 .

А если умножать не разные функции, а одну и ту же, то получится квадрат нормы. Посчитаем квадраты норм всех функций:

= = .

= = =

.

= = =

.

Ряд Фурье:

его коэффициенты:

, , .

Ряд Фурье с помощью синусов и косинусов разных частот осуществляет наилучшее приближении графика функции, в том смысле, что наименьшее среднеквадратичное отклонение. Для частичных сумм ряда, чем больше взято частот, тем более мелкие особенности графика будут учтены, и огибающая пройдёт ближе.

Докажем, что ряд Фурье имеет именно такое строение. Вспомним общую формулу . У нас в данном случае квадрат нормы равен для этой конкретной системы. Скалярное произведение определяется через интеграл. Поэтому в этом случае имеет вид . Подробнее рассмотрим коэффициент .

= = .