Ортогональные функции.

Две функции называются ортогональными на интервале , если , то есть .

Здесь нет такого простого геометрического смысла, как в случае перпендикулярных векторов, для функций ортогональность значит, что произведение функций где-то больше, а где-то меньше нуля так, чтобы эти части компенсировались и уничтожились при интегрировании.

Пример. Доказать, что функции , ортогональны на интервале .

= = = = 0.

Замечание. Если одна из функций в произведении тождественно равна 0, то интеграл очевидно, равен 0. Поэтому тождественный 0 это ортогональная всем функция.

Ортогональные системы.Если любая пара функций в системе ортогональна, то система называется ортогональной.

ортогональна, если для любых .

Система функций на отрезке :

ортогональна, её подробно рассмотри позже, с помощью неё как раз и строятся тригонометрические ряды Фурье.

Формулы коэффициента (Фурье) разложения по ортогональной системе: или .

Доказательство.Пусть функция представлена в виде суммы: найдём коэффициенты .

Можно скалярно домножить на . Получим

=

среди этих слагаемых, лишь одно отлично от нуля, ведь система ортогональна, и при будет .

Тогда , тогда то есть .

Можно записать и с помощью интегралов: .

Аналогичное равенство верно и для векторов: .